Hilbert Book Model Project/Quaternionic Field Equations/de

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Quaternionische Feldgleichungen

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Einführung

Maxwell-Gleichungen wenden den dreidimensionalen Nabla-Operator in Kombination mit einer Zeitableitung an, die die Koordinatenzeit anwendet. Die Maxwell-Gleichungen ergeben sich aus den Ergebnissen der Experimente. Aus diesem Grund enthalten diese Gleichungen physikalische Einheiten.

Bei dieser Behandlung gelten die quaternionischen partiellen Differentialgleichungen für den quaternionischen Nabla. Die Gleichungen ergeben sich nicht aus den Ergebnissen der Experimente. Stattdessen wenden die Formeln die Tatsache an, dass sich der quaternionische Nabla als quaternionischer Multiplikationsoperator verhält. Die entsprechenden Formeln enthalten keine physikalischen Einheiten. Dieser Ansatz erzeugt wesentliche Unterschiede zwischen Maxwell-Feldgleichungen und quaternionischen partiellen Differentialgleichungen.

Die quaternionischen partiellen Differentialgleichungen bilden einen vollständigen und selbstkonsistenten Satz. Sie verwenden die Eigenschaften des dreidimensionalen räumlichen Nabla. Die entsprechenden Formeln stammen aus Bo Thidé's EMTF Buch., Anhang F4. Eine weitere Online ressource ist Nabla_Operator.

Die quaternionischen partiellen Differentialgleichungen verändern nicht das Datenformat. Das Format der Informationen, die das Feld an Beobachter überträgt, welches das Feld eingebettet hat, wird durch die Informationsübertragung beeinflusst. Anstelle des euklidischen Speicherformats, das an der Stelle des beobachteten Ereignisses regelt, sehen die Beobachter ein Raumzeitformat, das eine Minkowski-Signatur aufweist. Die Lorentz transform beschreibt die Formatkonvertierung.

Maxwell-Gleichungen verwenden die Koordinatenzeit, wobei quaternionische Differentialgleichungen die richtige Zeit verwenden.

In Bezug auf Quaternionen spielt die Norm der Quaternion die Rolle der Koordinatenzeit. Diese Zeitwerte gelten nicht in ihren absoluten Versionen. So gelten nur Zeitintervalle.

Hilberträume können nur mit Zahlensystemen fertig werden, die Divisionsringe sind. In einem Divisionsring haben alle Nicht-Null-Mitglieder eine einzigartige Umkehrung.

Es gibt nur drei geeignete Divisionsringe. Das sind die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen und die Quaternionen.

So müssen dynamische geometrische Daten, die durch eine Minkowski-Signatur gekennzeichnet sind, zunächst in reale Zahlen zerlegt werden, bevor sie in einem Hilbertraum dienen können.

Quaternionen können ohne Demontage speichern und abrufen.

Quantenphysiker benutzen Hilberträume für die Modellierung ihrer Theorie. Allerdings wenden die meisten Quantenphysiker komplexe Hilberträume an.

Die quaternionische Quantenmechanik scheint eine natürliche Wahl zu repräsentieren.

Formatkonvertierung

Ein schreibgeschütztes Repository in Form der Kombination eines quaternionischen, unendlich dimensionalen, separablen Hilbertraumes und seines nicht-separablen Begleiters speichert die dynamischen geometrischen Daten, die das beobachtete Ereignis in einem euklidischen Format in Form von Kombinationen eines Zeitstempels und eines Drei-dimensionale räumliche Lage. Quaternionen fungieren als Datenbehälter. Ein privater Zeitstempel und ein räumlicher Ort kennzeichnen den Beobachter. Der Beobachter kann nur auf Speicherplätze zugreifen, deren Zeitstempel seinen eigenen Zeitstempel hintergeht. Ein Kontinuum überträgt diese Informationen an den Beobachter. Die Geschwindigkeit der Informationsübertragung des Kontinuums ist festgelegt. Daher beeinflusst die Informationsübertragung das Format der Information, die der Beobachter wahrnimmt. Eine Nicht-Null-Geschwindigkeitsdifferenz zwischen beobachtetem Ereignis und Beobachter wird für den Beobachter die wahrgenommene Längen kontrahieren und wird die Dauer der Ereignisse verlängern. Die Lorentz-Transformation ist eine hyperbolische Transformation, die die Formatkonvertierung beschreibt.

Quaternionische Differentialrechnung beschreibt die Interaktion zwischen diskreten Objekten und dem Kontinuum an der Stelle, an der Ereignisse auftreten. Die Umwandlung der Ergebnisse dieses Kalküls durch die Lorentz-Transformation beschreibt die Information, die die Beobachter wahrnehmen. Beobachter nehmen im Raumzeitformat wahr. Dieses Format kennzeichnet eine Minkowski Unterschrift. Die Lorentz-Transformation wandelt der euklidischen Speicherformat in die Situation des beobachteten Ereignisses in das wahrgenommene Raumzeitformat um.

Speichermodell

In diesem Modell ist der Zeitpunkt der Speicherung der Ereignisdaten irrelevant, solange er dem gespeicherten Zeitstempel vorangeht. So kann das Modell alle Daten zu einem Zeitpunkt speichern, der allen gespeicherten Zeitstempelwerten vorausgeht. Dies verkörpert das Modell als Schöpfer des Universums, in dem die beobachtbaren Ereignisse und die Beobachter existieren.

Das Repository verbindet die Hilbertraumtechnologie mit quaternionischer Funktionstheorie und quaternionischem Differential und Integralrechnung. Der separablen Hilbertraum speichert typischerweise die diskreten quaternionischen Daten. Diese können als verstreute Daten,als kohärente stochastische Schwärme oder als geordnete Verteilungen auftreten. Koordinatensysteme können dichte kohärente Schwärme sortieren, die dann zu Distributionen werden. Standortdichteverteilungen können diese geordneten Schwärme beschreiben. Der nicht separablen Hilbertraum bettet den separablen Hilbertraum ein, und auf diese Weise werden die Datensätze Teil des nicht separablen Hilbertraumes. Der nicht separablen Hilbertraum speichert die Kontinuums. Im nicht separablen Hilbertraum beschreiben quaternionische Funktionen die Kontinuums. Die kohärenten Schwärme können in ein Kontinuum eingebettet werden. Der Einbettungsprozess beinhaltet eine Faltung der Ortsdichteverteilung des kohärenten Schwarms mit der Green's-Funktion des Kontinuums. Differentialgleichungen beschreiben das Verhalten der Kontinuums. Auf dieser Seite betrachten wir nur Kontinuums, die großteils kontinuierliche quaternionische Funktionen beschreiben können.

Felder

In den Hilbert-Buch-Modell sind Feldern Eigenbereiche von Operatoren, die sich im nicht separablen Hilbertraum befinden. Kontinuierliche oder meist kontinuierliche Funktionen definieren diese Operatoren und abgesehen von einigen diskrepanten Regionen sind ihre Eigenbereiche Kontinua. Diese Regionen könnten sich auf einzelne, diskrete, punktähnliche Artefakte reduzieren. Der Parameterraum dieser Funktionen besteht aus quaternionischen Zahlensystemen. Folglich sind die reellen Zahlenwertkoeffizienten dieser Parameter voneinander unabhängig und die Differentialänderung kann in Form einer linearen Kombination von partiellen Differentialen ausgedrückt werden.

Jetzt gleicht die Gesamtdifferentialeänderung ${\textstyle df}$ des Feldes ${\textstyle f}$

$df={\frac {\partial {f}}{\partial {\tau }}}d\tau +{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}{\vec {i}}dx+{\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}{\vec {j}}dy+{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}{\vec {k}}dz$

(1)

In dieser Gleichung sind die partiellen Differenzen ${\textstyle {\frac {\partial {f}}{\partial {\tau }}},{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}},{\frac {\partial {f}}{\partial {y}}},{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}}$ Quaternionen.

Das quaternionische Nabla ${\textstyle \nabla }$ nimmt die spezielle Bedingung , dass partiellen Differenzen entlang der Achsen des kartesischen Koordinatensystems lenken. So ist

$\nabla =\sum _{i=1}^{n}{\vec {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}={\frac {\partial {}}{\partial {\tau }}}+{\vec {i}}{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}+{\vec {j}}{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}+{\vec {k}}{\frac {\partial {}}{\partial {z}}}$

(2)

Das Hilbert-Buchmodell geht davon aus, dass sich die quaternionischen Felder mäßig verändern, so dass nur partielle Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung das Modell beschreiben. Diese Gleichungen können Felder beschreiben, deren Kontinuität durch punktförmige Artefakte gestört wird. Warps, Clamps und Green's Funktionen beschreiben solche Störungen.

Generalfeldgleichungen

Generalisierte Feldgleichungen gelten für alle Grundfelder. Generalisierte Feldgleichungen passen am besten in einer quaternionischen Umgebung.

Quaternionen bestehen aus einem reellwertigen Skalarteil und einem dreidimensionalen Raumvektor, der den Imaginärteil darstellt.

Die Multiplikationsregel der Quaternionen zeigt an, dass mehrere unabhängige Teile das Produkt bilden.

In diesem Kommentar verwenden wir ein Suffix  ${\textstyle _{r}}$ um den skalaren Realteil einer Quaternion anzudeuten, und wir verwenden ${\textstyle {\vec {a}}}$ um den imaginären Vektorteil der Quaternion ${\textstyle a}$ anzuzeigen.

$c=c_{r}+{\vec {c}}=ab=(a_{r}+{\vec {a}})(b_{r}+{\vec {b}})=a_{r}b_{r}-\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle +a_{r}{\vec {b}}+{\vec {a}}b_{r}{\color {Red}\pm }{\vec {a}}\times {\vec {b}}$

(3)

Das ${\textstyle {\color {Red}\pm }}$ in Gleichung  (3) zeigt an, dass Quaternionen für das Vektorprodukt in Rechts- und Linkshänder vorhanden sind.

Die Formel kann verwendet werden, um die Vollständigkeit eines Satzes von Gleichungen zu überprüfen, die aus der Anwendung der Produktregel folgen.

Das quaternionische Konjugat von $a$ ist ${\textstyle a^{*}=a_{r}-{\vec {a}}}$. Aus der Produktregel folgt die Formel für die Norm ${\textstyle |a|}$ von Quaternion ${\textstyle a}$.

$|a|^{2}=aa^{*}=(a_{r}+{\vec {a}})(a_{r}-{\vec {a}})=a_{r}a_{r}+\langle {\vec {a}},{\vec {a}}\rangle$

(4)

Wir definieren den quaternionischen Nabla als ${\textstyle \nabla =\left\{{\partial \over \partial \tau },{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}=\nabla _{r}+{\vec {\nabla }};\quad \nabla _{r}={\partial \over \partial \tau };\quad {\vec {\nabla }}=\left\{{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}}$.

Das quaternionische Nabla ${\textstyle \nabla }$ wirkt wie ein Multiplikator. Das (partielle) Differential ${\textstyle \nabla \psi }$ Stellt den vollständigen Feldänderung erster Ordnung von ${\textstyle \psi }$ dar. Wir nehmen an, dass ${\textstyle \varphi =\nabla \psi }$ existiert in einer geschlossenen Region der Domäne von ${\textstyle \psi }$.

Erste Ordnung partielle Differentialgleichung

$\varphi =\varphi _{r}+{\vec {\varphi }}=\nabla \psi =(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=\nabla _{r}\psi _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle +\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {\nabla }}\psi _{r}{\color {Red}\pm }{\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}$

(5)

Die Gleichung ist eine quaternionische partielle Differentialgleichung erster Ordnung.

Die fünf Begriffe auf der rechten Seite zeigen die Komponenten, die die vollständige Änderung der ersten Ordnung darstellen.

Sie stellen Teilfelder des Feldes $\varphi$ dar, und oft bekommen sie spezielle Namen und Symbole.

Subfelder

${\vec {\nabla }}\psi _{r}$ ist die Gradient von $\psi _{r}$

$\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle$ Ist die Divergenz von ${\vec {\psi }}$.

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}$ ist die Rotation von ${\vec {\psi }}$

$\varphi _{r}=\nabla _{r}\psi _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle$

(6)

(Gleichung (4) ) hat kein Äquivalent in Maxwells Gleichungen!)

${\vec {\varphi }}=\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {\nabla }}\psi _{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}=\mp {\vec {B}}-{\vec {E}}$

(7)

${\vec {E}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ -\nabla _{r}{\vec {\psi }}-{\vec {\nabla }}\psi _{r}$

(8)

${\vec {B}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}$

(9)

${\vec {J}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}-\nabla _{r}{\vec {E}}$

(10)

Auslegung von Begriffen

Durch das Ersetzen des Nabla durch eine normalisierte Richtung, in der die Veränderung stattfindet, erhalten die Vektorterme in der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung eine besondere Interpretation, die in den  Integral Gleichungen benutzt wird.

${\vec {\nabla }}\psi ={\vec {\nabla }}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle +{\vec {\nabla }}\psi _{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}\Longleftrightarrow {\vec {n}}\psi ={\vec {n}}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle +\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {n}}\psi _{r}\pm {\vec {n}}\times {\vec {\psi }}$

(11)

Eigenschaften des räumlichen Nabla Operators

Das Nabla-Produkt ist nicht assoziativ. So

$\nabla (\nabla ^{*}\psi )=\nabla ^{*}(\nabla \psi )=(\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi \neq (\nabla \nabla ^{*})\psi =(\nabla ^{*}\nabla )\psi =(\nabla _{r}\nabla _{r}+{\vec {\nabla }}{\vec {\nabla }})\psi =(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }})\psi$

Das quaternionischec Nabla ${\textstyle \nabla }$ und die räumliche Nabla ${\textstyle {\vec {\nabla }}}$ verhalten sich kompliziert. Eine spezielle Seite widmet sich diesen Nabla operatoren.

Zweiter Ordnung partielle Differentialgleichungen

Wir beginnen mit dem quaternionischen Äquivalent der Maxwell-Faraday Gleichung.

$\nabla _{r}{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times (\nabla _{r}{\vec {\psi }})=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}$

(12)

Es existieren zwei interessante quaternionische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

$\zeta =(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi$

(13)

Dies ist das Äquivalent der quaternionische Wellengleichung. Es bietet Wellen als Teil der Lösungen der homogenen Gleichung.

$\chi =\nabla ^{*}\varphi =\nabla ^{*}\nabla \psi =\nabla \nabla ^{*}\psi =(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})(\varphi _{r}+{\vec {\varphi }})=(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=(\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi$

(14)

Diese Gleichung kann in zwei partielle Wellengleichungen erster Ordnung aufgeteilt werden  $\chi =\nabla ^{*}\varphi$ und $\varphi =\nabla \psi$.

Diese Gleichung bietet keine Wellen als Teil der Lösungen der homogenen Gleichung an.

Differentialoperatoren

$D=(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )$

(15)

Das ist das quaternionische Äquivalent von d'Alembert's operator.

$\boxdot =(\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )$

(16)

Dieser operator hat noch keinen bekannten Namen.

Operator $\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle$ stellt den Hauptteil der Poisson-Gleichung dar. Zusammen mit $\nabla _{r}\nabla _{r}$ konfiguriert dieser Operator die oben genannten Operatoren.

Wie oben gezeigt, kann $\boxdot$ vom Nabla operator abgeleitet werden. Das kann man nicht direct von der $D$ operator behaupten. Dirac hat es doch versucht. Dirac Gleichung.

Wellengleichung von Maxwell-Gleichungen

Gauge-Gleichungen müssen Maxwell-Gleichungen ausbreiten, um die partielle Wellengleichung zweiter Ordnung abzuleiten.

Lösungen

Die quaternionischen partiellen Wellengleichungen zweiter Ordnung bieten eine Reihe von interessanten Lösungen, die im Hilbert-Buchmodell eine wichtige Rolle spielen. Eine spezielle Seite widmet sich diesen  Lösungen.

Poisson-Gleichung und Green's-Funktion

Die Poisson-Gleichung

$\phi =\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \psi =G\circ \xi$

(17)

beschreibt, wie das Feld mit seiner Green's-Funktion $G$ reagiert auf eine Verteilung $\xi$ Von punkt-ähnlichen Auslösern.

$G({\vec {q}}-{\vec {c}})=1/|{\vec {q}}-{\vec {c}}|$

(18)

Passage durch eine Oberfläche und Bilanzgleichungen

Wie die Maxwell-Gleichungen beziehen sich die quaternionic partiellen Differentialgleichungen zu Oberflächen-Volumenintegralen . Die Differentialgleichungen sind Kontinuitätsgleichungen und die Integralgleichungen repräsentieren Bilanzgleichungen. Die Extended Stokes Theorem- Seite behandelt den Fall, dass die eingekapselte Domäne mehrere Parameterbereiche enthält.

In Bezug auf einen lokalen Teil einer geschlossenen Grenze, die senkrecht zum Vektor 𝙣 orientiert ist, beziehen sich die partiellen Differentiale als

${\vec {\nabla }}\psi ={\vec {\nabla }}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle +{\vec {\nabla }}\psi _{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}\Longleftrightarrow {\vec {n}}\psi ={\vec {n}}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle +\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {n}}\psi _{r}\pm {\vec {n}}\times {\vec {\psi }}$

(19)

Dies wird im verallgemeinerten Stokes-Theorem ausgenutzt

$\iiint \langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle \,dV=\oiint \ \langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle \,dS$

(20)

Diese Gleichung ist das quaternionische Äquivalent des Divergenzsatzes.

$\iiint {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}\,dV=\oiint \ {\vec {n}}\times {\vec {\psi }}\,dS$

(21)

Diese Gleichung ist ein equivalent des generalisierte Stokes Theorem.

$\iiint {\vec {\nabla }}\psi _{r}\,dV=\oiint \,\psi _{r}\,{\vec {n}}\,dS$

(22)

$\iiint {\vec {\nabla }}\psi \,dV=\oiint \,{\vec {n}}\,\psi \,dS$

(23)

Die letzte Gleichung kombiniert die drei vorherigen Gleichungen.

Dieses Ergebnis verwandelt sich in der Differentialkontinuitätsgleichung in einen Satz entsprechender Bilanz-Integrals.

Es verdeutlicht auch, was die Begriffe in der Kontinuitätsgleichung bedeuten.

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }})={\vec {\nabla }}\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle -\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle {\vec {\psi }}\Longleftrightarrow {\vec {n}}\times ({\vec {n}}\times {\vec {\psi }})={\vec {n}}\langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle -\langle {\vec {n}},{\vec {n}}\rangle {\vec {\psi }}$

(24)

$\iiint {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }})\,dS=\oiint \,\langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle \,{\vec {n}}\,dS-\oiint \,{\vec {\psi }}\,dS$

(25)

Eine Dimension weniger

Wir können eine andere Dimension hinuntergehen, indem wir den Kelvin-Stokes theorem anwenden.

$\oint \limits _{C}\langle {\vec {a}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {a}},{\vec {n}}\rangle dS$

(26)

Dies führt zu Kurvenoberflächenintegralen.

Die quaternionischen Äquivalente des Ampèrschen Gesetzes sind:

${\vec {J}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}-\nabla _{r}{\vec {E}}\Longleftrightarrow {\vec {J}}={\vec {n}}\times {\vec {B}}-\nabla _{r}{\vec {E}}$

(27)

$\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}},{\vec {n}}\rangle dS=\oint \limits _{C}\langle {\vec {B}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle ({\vec {J}}+\nabla _{r}{\vec {E}}),{\vec {n}}\rangle dS$

(28)

. . Die quaternionischen Äquivalente des Faradayschen Gesetzes sind:

$\nabla _{r}{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times (\nabla _{r}{\vec {\psi }})=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\Longleftrightarrow \nabla _{r}{\vec {B}}={\vec {n}}\times (\nabla _{r}{\vec {\psi }})=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}$

(29)

$\oint \limits _{C}\langle {\vec {E}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}},{\vec {n}}\rangle dS=-\iint \limits _{S}\langle \nabla _{r}{\vec {B}},{\vec {n}}\rangle dS$

(30)

${\vec {J}}={\vec {\nabla }}\times ({\vec {B}}-{\vec {E}})-\nabla _{r}({\vec {B}}-{\vec {E}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {\varphi }}-\nabla _{r}{\vec {\varphi }}={\vec {v}}\,\rho$

(31)

$\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\varphi }},{\vec {n}}\rangle dS=\oint \limits _{C}\langle {\vec {\varphi }},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle ({\vec {v}}\rho +\nabla _{r}{\vec {\varphi }}),{\vec {n}}\rangle dS$

(32)

Lorentz Kraft

Die obigen Gleichungen ermöglichen die Ableitung der Gleichung für die Lorentz-Kraft . Wir beginnen von der Maxwell-Faraday-Gleichung.

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\nabla _{r}{\vec {B}}$

(33)

$\oint \limits _{C}\langle {\vec {E}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}},{\vec {n}}\rangle dS=-\iint \limits _{S}\langle \nabla _{r}{\vec {B}},{\vec {n}}\rangle dS$

(34)

${\frac {d}{d\tau }}\iint \limits _{S}\langle {\vec {B}},{\vec {n}}\rangle dS=\iint \limits _{S(\tau _{0})}\langle {\dot {\vec {B}}}(\tau _{0}),{\vec {n}}\rangle dS+{\frac {d}{d\tau }}\iint \limits _{S(\tau )}\langle {\vec {B}}(\tau _{0}),{\vec {n}}\rangle dS$

(35)

Die Leibniz-Integralgleichung sagt

${\frac {d}{dt}}\iint \limits _{S(\tau )}\langle {\vec {X}}(\tau _{0}),{\vec {n}}\rangle dS=\iint \limits _{S(\tau _{0})}\langle {\dot {\vec {X}}}(\tau _{0})+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {X}}(\tau _{0})\rangle \,{\vec {v}}(\tau _{0}),{\vec {n}}\rangle dS-\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {v}}(\tau _{0})\times {\vec {X}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle$

(36)

Mit ${\vec {X}}={\vec {B}}$ and $\langle {\vec {\nabla }},{\vec {B}}\rangle =0$ folgt

${\frac {d\Phi _{B}}{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\iint \limits _{S(\tau )}\langle {\vec {B}}(\tau ),{\vec {n}}\rangle dS=\iint \limits _{S(\tau _{0})}\langle {\dot {\vec {B}}}(\tau _{0}),{\vec {n}}\rangle dS-\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {v}}(\tau _{0})\times {\vec {B}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle =-\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {E}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle -\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {v}}(\tau _{0})\times {\vec {B}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle$

(37)

Die elektromotorische Kraft (EMF) ${\mathcal {E}}$ gleicht

${\mathcal {E}}=\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\frac {{\vec {F}}(\tau _{0})}{q}},d{\vec {l}}\rangle =-{\frac {d\Phi _{B}}{d\tau }}{\biggl |}_{\tau =\tau _{0}}=\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {E}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle +\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {v}}(\tau _{0})\times {\vec {B}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle$

(38)

${\vec {F}}=q\,{\vec {E}}+q\,{\vec {v}}\times {\vec {B}}$

(39)

Feld eines Demo-Schwarms

In reinen sphärischen Bedingungen reduziert sich der Laplacian zu:

$\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \psi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\biggl (}r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}{\biggr )}$

(40)

Für die Beschreibung der Ortslageschwarm durch das Feld, die Green-Funktion verwischt die Lage Dichte Verteilung der Schwarm. Wenn die Ortsdichteverteilung die Form einer Gaußschen Verteilung hat, dann ist die verschwommene Funktion die Faltung dieser Ortsdichteverteilung und die Funktion des Grüns.

Die Gaußsche Verteilung ist

$\rho (r)={\frac {1}{(\sigma {\sqrt {2\pi }})^{3}}}\exp(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}})$

(41)

Die Form dieses Beispiels ist gegeben durch:

${\mathfrak {T}}(r)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {ERF({\frac {r}{\sigma {\sqrt {2}}}})}{r}}$

(42)

In dieser Funktion ist jede Spur der Singularität der Green-Funktion verschwunden. Es liegt an der Verteilung und der riesigen Anzahl an teilnehmenden Hopfenlagen. Diese Form ist nur ein Beispiel.

Solche zusätzlichen Potenziale fügen einen lokalen Beitrag zu dem Feld hinzu, das als Wohnraum von Modulen und modularen Systemen fungiert.

Der gezeigte zusätzliche Beitrag ist auf das lokale Elementarmodul zurückzuführen, das der Schwarm darstellt.

Gemeinsam bildet eine Vielzahl von Beulen den Wohnraum.

• 
  Potential einer Gaußsche Ortsverteilung

So ist für eine Gaußsche Ortsverteilung von punktförmigen Artefakten der entsprechende Beitrag zum Feld $\psi$ entspricht einer Fehlerfunktion geteilt durch ihr Argument.

Kraft raising Feld

Aus den Differentialgleichungen geht es nicht direkt klar, wie Felder Kräfte erheben können. Ein zweiter Blick auf diese Gleichungen könnte aufklären, wie Felder auf diskrete Objekte wirken.

Nehmen wir an, dass ein gleichmäßig beweglicher, kohärenter Schwarm einem Formular-Skalarpotential entspricht $\varphi (x)$.Der sich auf einer gleichmäßig bewegenden Plattform befindet. In Bezug auf den Hintergrundparameterraum repräsentiert dieses skalare Potential ein Vektorpotential ${\vec {\psi }}={\vec {v}}\,\varphi$. Weiter $\psi _{r}=\varphi$.

In einiger Entfernung vom Zentrum verhält sich das Skalarpotential

$\varphi \approx {\frac {Q_{1}}{|r|}}$

(43)

${\vec {\nabla }}\varphi \approx {\frac {Q_{1}\,{\vec {r}}}{|r|^{3}}}$

(44)

Jetzt betrachten wir die Situation, dass die Gesamtveränderung  $\phi =\nabla \,\psi$ von Feld $\psi$ Gleich Null ist

$\phi ={\color {Red}\nabla _{r}\psi _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle +}\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {\nabla }}\psi _{r}{\color {Red}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}}$

(45)

Auch erwarten wir, dass die roten Terme gleich Null sind. Wir nehmen auch an, dass das Feld locker ist.

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}=0$

(46)

$\nabla _{r}{\vec {\psi }}=-{\vec {\nabla }}\psi _{r}$

(47)

$\nabla _{r}\,{\vec {\psi }}=(\nabla _{r}\,{\vec {v}})\,\varphi ={\vec {a}}\,\varphi$

(48)

${\vec {\nabla }}\psi _{r}={\vec {\nabla }}\varphi \approx {\frac {Q_{1}\,{\vec {r}}}{|r|^{3}}}$

(49)

${\vec {E}}={\frac {Q_{1}\,{\vec {r}}}{|r|^{3}}}={\vec {a}}\,{\frac {Q_{1}}{|r|}}$

(50)

In diesen Konditionen produziert die Beschleunigung  ${\vec {a}}$ des Schwarms ein zusätzliches Feld ${\vec {E}}$.

Für eine weitere Ladung $Q_{2}$ bringt dieses Feld ${\vec {E}}$ eine Kraft ${\vec {F}}={\vec {E}}\ Q_{2}$ hervor .

$F({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})=E({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\,Q_{2}\approx {\frac {Q_{1}\,Q_{2}\,({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}$

(51)

Trägheit

Gleichung (51)zeigt an, dass die Beschleunigung eines eingebetteten Objekts durch das Einbettungsfeld entgegengewirkt wird.

Lorentz transformation

Die Schockfronten bewegen sich mit der Geschwindigkeit  $c$. In der quaternionischen Einstellung ist diese Geschwindigkeit gleich Eins.

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}$

(52)

Schwärme von Klemmauslösern bewegen sich mit geringerer Geschwindigkeit  $v$.

Denn die geometrischen Zentren dieser Schwärme sind noch:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-c^{2}t'^{2}$

(53)

Wenn die Standorte  $\{x,y,z\}$ und $\{x',y',z'\}$ Mit gleichmäßiger relativer Geschwindigkeit $v$ bewegen, dann

$c\,t'=c\,t\cosh(\omega )-x\sinh(\omega )$

(54)

$x'=x\cosh(\omega )-c\,t\sinh(\omega )$

(55)

$\cosh(\omega )={\frac {\exp(\omega )+\exp(-\omega )}{2}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$

(56)

$\sinh(\omega )={\frac {\exp(\omega )-\exp(-\omega )}{2}}={\frac {v}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$

(57)

$\cosh(\omega )^{2}-\sinh(\omega )^{2}=1$

(58)

Dies ist eine hyperbolische Transformation, die zwei Koordinatensysteme verknüpft.

Diese Transformation kann zwei Plattformen betreffen  $P$ und $P'$ Auf welchen Schwärmen wohnen und sich mit gleichmäßiger relativer Geschwindigkeit $v$ bewegen. 

Allerdings kann es sich auch um den Lagerort $P$ und Lagerort $P'$ handeln. $P$ enthält Zeitstempel $\tau$ Und räumliche Lage $\{x,y,z\}$. $P'$ hat koordinaten zeit $t'$ und Lage $\{x',y',z'\}$.

In this way, the hyperbolic transform relates two individual platforms on which the private swarms of individual elementary particles reside.

Auf diese Weise bezieht sich die hyperbolische Transformation auf zwei einzelne Plattformen, auf denen sich die privaten Schwärme einzelner Elementarteilchen befinden.

Es bezieht sich auch auf die gespeicherten Daten eines Elementarteilchens und das beobachtete Format dieser Daten für das Elementarteilchen, das sich mit der Geschwindigkeit $v$ relativ zum Hintergrundparameterraum bewegt.

Material eindringenden Feld

Grundfelder können homogene Materialbereiche durchdringen. Innerhalb dieser Regionen werden die Felder zerknüllt. Infolgedessen verringert sich die durchschnittliche Geschwindigkeit von Warps, Clampen und Wellen, oder diese Vibrationen werden nur weggedämpft

Das grundlegende Feld, das wir hier betrachten, ist eine geglättete Version  ${\widehat {\psi }}$ des ursprünglichen Feldes $\psi$ das durch das Material dringt.

${\vec {\varphi }}=\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {\nabla }}{\psi }_{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}=\mp {\vec {B}}-{\vec {E}}$

${\vec {\phi }}=\nabla _{r}{\vec {\widehat {\psi }}}+{\vec {\nabla }}{\widehat {\psi }}_{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\widehat {\psi }}}=\mp {\vec {\mathfrak {B}}}-{\vec {\mathfrak {E}}}$

Die partielle Differentialgleichung erster Ordnung ändert sich nicht viel. Die getrennten Terme in den Differentialgleichungen erster Ordnung müssen durch einen materialabhängigen Faktor korrigiert und zusätzliche materialabhängige Begriffe erscheinen.

Diese zusätzlichen Begriffe entsprechen der Polarisation  ${\vec {P}}$ und Magnetisierung ${\vec {M}}$ des Materials und die Faktoren betreffen die Permittivität $\epsilon$ und die Permeabilität $\mu$ des Materials.

Dies führt zu Korrekturen in der ${\vec {\mathfrak {E}}}$ und das ${\vec {\mathfrak {B}}}$ Feld die durchschnittliche Geschwindigkeit der Warps und Wellen reduziert von 1 bis $v={\frac {1}{\sqrt {\epsilon \mu }}}$.

${\vec {D}}=\epsilon {\vec {\mathfrak {E}}}+{\vec {P}}$

(59)

${\vec {H}}={\frac {1}{\mu }}{\vec {\mathfrak {B}}}-{\vec {M}}$

(60)

$\rho _{b}=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {P}}\rangle$

(61)

$\rho _{f}=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {D}}\rangle$

(62)

${\vec {J}}_{b}={\vec {\nabla }}\times {\vec {M}}+\nabla _{r}{\vec {P}}$

(63)

${\vec {J}}_{f}={\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}-\nabla _{r}{\vec {D}}$

(64)

Der subscript $_{b}$ bedeutet beschränkt. Der subscript $_{f}$ bedeutet frei.

$\rho ={\frac {1}{\epsilon }}\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\mathfrak {E}}}\rangle =\rho _{b}+\rho _{f}$

(65)

${\vec {J}}={\frac {1}{\mu }}{\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathfrak {B}}}-{\frac {\epsilon }{\mu }}\nabla _{r}{\vec {\mathfrak {E}}}={\vec {J}}_{b}+{\vec {J}}_{f}$

(66)

${\vec {\phi }}={\vec {\mathfrak {E}}}-{\vec {\mathfrak {B}}}={\frac {1}{\epsilon }}({\vec {D}}-{\vec {P}})-\mu ({\vec {H}}+{\vec {M}})$

(67)

Die homogenen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung gelten für das geglättete Feld  ${\widehat {\psi }}$.

$\{\nabla _{r}\nabla _{r}\pm v^{2}\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \}{\widehat {\psi }}=0$

(68)

Poynting vector

Der Poynting-Vektor repräsentiert die gerichtete Energieflussdichte (die Rate der Energieübertragung pro Flächeneinheit) eines Grundfeldes.

Das quaternionische Äquivalent des Poynting-Vektors ist definiert als:

${\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}$

(69)

$u$ ist die elektromagnetische Energiedichte für lineare, nichtdispergierende Materialien, gegeben durch

$u={\frac {\langle {\vec {E}},{\vec {B}}\rangle +\langle {\vec {B}},{\vec {H}}\rangle }{2}}$

(70)

${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {S}}\rangle -\langle {\vec {J}}_{f},{\vec {E}}\rangle$

(71)