Hilbert Book Model Project/Extended Stokes Theorem/de

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Ausgebreitetes Stokes Theorem

Balance Integrale aus Kontinuitätsgleichungen

Der erweiterte Stokes-Theorem wendet die Bilanzgleichungen an, die sich aus den partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung ergeben ^[1] .

In Bezug auf einen lokalen Teil einer geschlossenen Grenze, die senkrecht zum Vektor 𝙣 orientiert ist, beziehen sich die partiellen Differentiale als

${\vec {\nabla }}\psi ={\vec {\nabla }}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle +{\vec {\nabla }}\psi _{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}\Longleftrightarrow {\vec {n}}\psi ={\vec {n}}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle +\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {n}}\psi _{r}\pm {\vec {n}}\times {\vec {\psi }}$

(1)

Dies wird im verallgemeinerten Stokes-Theorem ausgenutzt

$\iiint \langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle \,dV=\oiint \ \langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle \,dS$

(3)

$\iiint {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}\,dV=\oiint \ {\vec {n}}\times {\vec {\psi }}\,dS$

(4)

$\iiint {\vec {\nabla }}\psi _{r}\,dV=\oiint \,{\vec {n}}\,\psi _{r}\,dS$

(5)

In seiner einfachsten Form, in der keine Diskontinuitäten im Integrationsbereich $\Omega$ auftreten läuft der verallgemeinerte Stokes-Theorem als

$\int \limits _{\Omega }d\omega =\int \limits _{\partial \Omega }\omega \quad {\bigl (}\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\oint \limits _{\partial \Omega }\omega \,{\bigr )}$

(6)

Hier stellt $\partial \Omega$ die Grenze dar.

Die dynamische Aufteilung

Die Grenze, die der Definitionsbereich in einem historischen Teil, ein aktueller statischer Status quo und ein zukünftiger Teil aufspaltet, ist im Stokes-Integral repräsentiert

$\int _{t=0}^{\tau }\iiint _{V}dF(x)=[\iiint _{V}F(x)]_{t=\tau }$

(7)

Trennung der punktförmigen Diskontinuitäten

Wir trennen alle punkt-artigen Diskontinuitäten von der Definitionsbereich $\Omega$ indem man sie in eine zusätzliche Grenze einkapselt.Symmetriezentren stellen sphärisch geordnete Parameterräume in Regionen $H_{n}^{x}$ dar die auf einem Hintergrund-Parameterraum ${\mathfrak {R}}$ platzieren. Die Grenzen $\partial H_{n}^{x}$ trennen die Regionen von der Definitionsbereich $H_{n}^{x}$. Die Regionen $H_{n}^{x}$ sind Plattformen für lokale Diskontinuitäten in basis Felder. Diese Felder sind in der Definitionsbereich $\Omega -H$ kontinuierlich..

$H=\bigcup _{n=1}^{N}H_{n}^{x}$

(8)

Die Symmetriezentren ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ sind in Regionen $H_{n}^{x}$ eingekapselt und die Einkapselungsgrenze $\partial H_{n}^{x}$ ist nicht Teil der abgetrennten Grenze, die alle kontinuierliche Teile der quaternionischen Mannigfaltigkeit $\omega$ einkapselt, die im quaternionischen Modell existieren.

$\,\int \limits _{\Omega -H}d\omega =\int \limits _{\partial \Omega \cup \partial H}\omega =\int \limits _{\partial \Omega }\omega -\sum _{k=1}^{N}\int \limits _{\partial H_{n}^{x}}\omega$

(9)

In der Tat ist es ausreichend dass $\partial H_{n}^{x}$den aktuellen Standort des Elementar-Moduls umgibt. Wir wählen eine Grenze, die die Form eines kleinen Würfels hat, von dem die Seiten durch eine Region der Parameterräume laufen, wo die Mannigfaltigkeiten kontinuierlich sind.

Wenn wir annehmen um überall auf der Grenze die Einheit normal Vektor nach außen zeigen zu lassen, dann kehrt das die Richtung der Normalen auf $\partial H_{n}^{x}$ um, was zu Folge hat dass das Zeichen des Integrals umkehrt. Also, werden in dieser Formel, die Beiträge der Grenzen $\{\partial H_{n}^{x}\}$ von den Beitragen der Grenzen $\partial \Omega$ abgezogen. Das bedeutet, dass $\partial \Omega$ auch die regionen $\{\partial H_{n}^{x}\}$ umgibt.

Diese Tatsache macht die Integration sensibel für die Sortierung der teilnehmenden Definitionsbereichen

Gemischte Definitionsbereich-Funktionen

Die Existenz von Plattformen, die auf dem Hintergrund-Parameterraum gleiten und einen privaten Parameterraum besitzen, der eine private Sortiersymmetrie besitzt, führt zu dem Begriff der Funktionen, die auf einer Mischung von gleitende Definitionsbereichen definieren. Geschlossene Grenzen umschließen die gleitende Definitionsbereichen. Die Integration der Gemischten-Definitionsbereich-Funktionen muss das erweiterte Stokes-Theorem anwenden. Ein Gemischtes Definitionsbereich-Funktion definiert das Einbettungs-Kontinuum. Die Faltung der Green,s-Funktion des Einbettungs-Kontinuums mit der Ortsdichteverteilung eines Moduls wendet den erweiterten Stokes-Theorem an.

Der Umgang mit diskrepante Symmetrie der Sortierung

Domain $\Omega$ Entspricht einem Teil des Hintergrund-Parameterraums ${\mathfrak {R}}$. Wie bereits früher erwähnt, repräsentieren die Symmetriecentra $\{{\mathfrak {S}}_{n}^{x}\}$ eingekapselte Regionen $\{\partial H_{n}^{x}\}$ die auf dem Hintergrund-Parameterraum ${\mathfrak {R}}$ platzieren. Die kartesischen Achsen von ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ sind parallel zu den kartesischen Achsen des Hintergrund-Parameterraumes ${\mathfrak {R}}$. Nur die Ordnungen entlang dieser Achsen können sich unterscheiden.

Weiterhin wird das geometrische Zentrum der Symmetriecentra ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ durch eine schwebende Position auf dem Parameterraum ${\mathfrak {R}}$ dargestellt.

Das Symmetriezentrum ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ zeichnet sich durch einen privaten Symmetriearoma aus. Dieser Symmetriearoma bezieht sich auf die kartesische Ordnung dieses Parameterraums. Bei der Orientierung der Koordinatenachsen sind acht unabhängige kartesische Ordnungen möglich.

Buchhaltung für Symmetrie bezogene Ladungen

Die Konsequenz der Unterschiede im Symmetriearoma auf die Subtraktion kann am besten begriffen werden, wenn der Verkapselung $\partial H_{n}^{x}$ durch eine kubische Raumform durchgeführt wird, die ausgerichtet ist entlang der kartesischen Achsen, die im Hintergrund-Parameterraum wirken. Nun tragen die sechs Seiten des Würfels abhängend von den Differenz von $H_{n}^{x}$ mit die Ordnung von der kartesischen Ordnung des Referenzparameterraums ${\mathfrak {R}}$ auf verschiedene Weise bei zu den Effekten der Verkapselung. Jede diskrepante Achsordnung entspricht einem Drittel der Oberfläche des Würfels. Dieser Effekt wird dargestellt durch die Symmetrie bezogen Ladung, die auch das Farbladung des Symmetriezentrums umfasst. Es ist leicht ersichtlich verwandt mit dem Algorithmus, der später für die Berechnung der symmetrie bezogenen Ladung eingeführt wird. Auch die Beziehung zur Farbladung ist klar. Somit koppelt dieser Effekt die Sortierung der lokalen Parameterräume an die symmetrie bezogene Ladung des eingekapselten elementar Moduls. Die Unterschiede bei der Sortierung des umgebenden Raumes bestimmen den Wert der symmetrie bezogenen Ladung des Objekts, das sich innerhalb der Verkapselung befindet!

Symmetrie bezogene Ladungen und Felder

Der Unterschied in der Ordnungssymmetrie zwischen einemgleitenden Parameterraum und der Ordnungssymmetrie des Hintergrund-Parameterraums definiert den Symmetriearoma der Plattform, auf der sich der gleitende Parameterraum befindet. Der Symmetriearoma bestimmt seine symmetrie bezogene Ladung. Die Ladung lokalisiert an der geometrischen Mitte der Plattform und interagiert mit einem symmetrie bezogenen Feld.

Symmetrie Aroma

Ordnung	Nr	R/L	clr	chrg	SM type
$\Uparrow \Uparrow \Uparrow \Uparrow$	0	R	N	+0	neutrino
$\Downarrow \Uparrow \Uparrow \Uparrow$	1	L	R	-1	down quark
$\Uparrow \Downarrow \Uparrow \Uparrow$	2	L	G	-1	down quark
$\Downarrow \Downarrow \Uparrow \Uparrow$	3	L	B	-1	down quark
$\Uparrow \Uparrow \Downarrow \Uparrow$	4	R	B	+2	up quark
$\Downarrow \Uparrow \Downarrow \Uparrow$	5	R	G	+2	up quark
$\Uparrow \Downarrow \Downarrow \Uparrow$	6	R	R	+2	up quark
$\Downarrow \Downarrow \Downarrow \Uparrow$	7	L	N	-3	electron
$\Uparrow \Uparrow \Uparrow \Downarrow$	8	R	N	+3	positron
$\Downarrow \Uparrow \Uparrow \Downarrow$	9	L	R	-2	anti-up quark
$\Uparrow \Downarrow \Uparrow \Downarrow$	A	L	G	-2	anti-up quark
$\Downarrow \Downarrow \Uparrow \Downarrow$	B	L	B	-2	anti-up quark
$\Uparrow \Uparrow \Downarrow \Downarrow$	C	R	B	+1	anti-dwn quark
$\Downarrow \Uparrow \Downarrow \Downarrow$	D	R	G	+1	anti-dwn quark
$\Uparrow \Downarrow \Downarrow \Downarrow$	E	R	R	+1	anti-dwn quark
$\Downarrow \Downarrow \Downarrow \Downarrow$	F	L	N	-0	anti-neutrino

Algorithmus

Die symmetrie bezogene Ladung kombiniert elektrische Ladung und Farbladung. Die Farbladung bezieht sich auf die Dimension, in der Anisotropie auftritt.

Die elektrische Ladung folgt aus der Anzahl der Dimensionen, in denen sich die Ordnungssymmetrien unterscheiden. Umschalten zwischen rechte in linke Handregel ändert das Zeichen. Antipartikel zeigen entgegengesetzte Ladung.

Die elektrischen Ladungen können andere elektrische Ladungen anziehen oder abstoßen. Aus diesem Grund nehmen sie auch an der Bindung von Modulen teil.

Ladungsgeometrie

Die symmetrie bezogene Ladung und die Farbladung des Symmetriezentrums ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ sollen sich an der geometrischen Mitte des Symmetriezentrums befinden. Eine Green's-Funktion zusammen mit diesen Ladungen stellen die lokal definierte Funktion $\varphi ^{x}(q)$ des Beitrags $\varphi ^{x}$ zum symmetrie bezogenen Feld ${\mathfrak {A}}^{x}$ dar, innerhalb und außerhalb des Bereichs der schwimmenden Region $H_{n}^{x}$.

Nichts anderes als die Diskrepanz der Ordnung des Symmetriezentrums ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ In Bezug auf die Sortierung des Parameterraums ${\mathfrak {R}}$ verursacht die Existenz der symmetrie bezogenen Ladung, die mit dem Symmetriezentrum zusammenhängt. Alles, was auf diesem Symmetriezentrum liegt, wird diese Symmetrie-bezogene Ladung erben .

In der Formel werden die Grenzen $\partial \Omega$ und $\partial H_{n}^{x}$ voneinander subtrahiert. Der Unterschied bei der Sortierung der Definitionsbereiche $\Omega$ und $H_{n}^{x}$ steuert diese Subtraktion.

Die Beziehung zwischen dem Unterraum $S_{\Omega }$ das der Definitionsbereich $\Omega$ entspricht und den Unterraum $S_{\mathfrak {R}}$ das dem Parameterraum ${\mathfrak {R}}$ entspricht ist gegeben durch :.

$\underbrace {\Omega } _{S_{\Omega }}\subset \underbrace {\mathfrak {R}} _{S_{\mathfrak {R}}}$

(10)

Ähnlich:

$\underbrace {H_{n}^{x}} _{S_{H_{n}^{x}}}\subset \underbrace {{\mathfrak {S}}_{n}^{x}} _{S_{{\mathfrak {S}}_{n}^{x}}}$

(11)

Zweidimensionale Bilanzgleichungen

Wir benutzen

${\vec {E}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ -\nabla _{r}{\vec {\psi }}-{\vec {\nabla }}\psi _{r}$

(12)

${\vec {B}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}$

(13)

$\nabla _{r}{\vec {B}}=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}$

(15)

$\oint \limits _{C}\langle {\vec {E}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}},d{\vec {A}}\rangle =-\iint \limits _{S}\langle \nabla _{r}{\vec {B}},d{\vec {A}}\rangle$

(16)

${\vec {J}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}-\nabla _{r}{\vec {E}}$

(17)

$\oint \limits _{C}\langle {\vec {B}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle ({\vec {J}}+\nabla _{r}{\vec {E}}),d{\vec {A}}\rangle$

(18)