Translations:

Uitgebreide Stelling van Stokes

Balans integralen uit continuïteitsvergelijkingen

Als de uitgebreide stelling van Stokes gelden de balansvergelijkingen die voortkomen uit de eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen ^[1] .

Met betrekking tot een lokaal gedeelte van een gesloten grens die loodrecht op vector ${\vec {n}}$ de partiële differentialen plaats betrekking

{\vec {\nabla }}\psi ={\vec {\nabla }}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle +{\vec {\nabla }}\psi _{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}\Longleftrightarrow {\vec {n}}\psi ={\vec {n}}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle +\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {n}}\psi _{r}\pm {\vec {n}}\times {\vec {\psi }}

(1)

Dit wordt in de algemene stelling van Stokes toegepast

\iiint {\vec {\nabla }}\psi \,dV=\oiint \,{\vec {n}}\,\psi \,dS

(2)

\iiint \langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle \,dV=\oiint \ \langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle \,dS

(3)

\iiint {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}\,dV=\oiint \ {\vec {n}}\times {\vec {\psi }}\,dS

(4)

\iiint {\vec {\nabla }}\psi _{r}\,dV=\oiint \,{\vec {n}}\,\psi _{r}\,dS

(5)

In zijn eenvoudigste vorm, waarin in het integratie domein geen discontinuïteiten optreden $\Omega$ wordt de gegeneraliseerde stelling van Stokes uitgevoerd als

\int \limits _{\Omega }d\omega =\int \limits _{\partial \Omega }\omega \quad {\bigl (}\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\oint \limits _{\partial \Omega }\omega \,{\bigr )}

(6)

Hier vertegenwoordigt $\partial \Omega$ de omhullende grens

De dynamische split

De grens die het domein splitst in een historisch deel, een huidige statische status quo en een toekomstdeel wordt weerspiegeld in de Stokes integraal

\int _{t=0}^{\tau }\iiint _{V}dF(x)=[\iiint _{V}F(x)]_{t=\tau }

(7)

Het scheiden van de puntvormige discontinuïteiten

We scheiden alle puntvormige discontinuïteiten van het domein $\Omega$ door ze in een extra grens in te kapselen. Symmetrie centra vertegenwoordigen sferisch gerangschikte parameter ruimten in regio's die op een achtergrond-parameterruimte drijven ${\mathfrak {R}}$ . De grenzen $\partial H_{n}^{x}$ scheiden de regio's van het domein $H_{n}^{x}$ . de regio's $H_{n}^{x}$ zijn platforms voor de lokale discontinuïteiten in de basisvelden. Deze velden zijn continue in domein $\Omega -H$ .

H=\bigcup _{n=1}^{N}H_{n}^{x}

(8)

De symmetrie centra ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ zijn ingekapseld in regio's $H_{n}^{x}$ en de inkapselende grens $\partial H_{n}^{x}$ is geen onderdeel van de opgebroken rand, die alle continue delen van het quaternionische manifold die in het quaternionische model bestaan inkapselt.

\,\int \limits _{\Omega -H}d\omega =\int \limits _{\partial \Omega \cup \partial H}\omega =\int \limits _{\partial \Omega }\omega -\sum _{k=1}^{N}\int \limits _{\partial H_{n}^{x}}\omega

(9)

In feite is het voldoende dat $\partial H_{n}^{x}$ de huidige locatie van de elementaire module omringt. We zullen een begrenzing, die de vorm heeft van een kubus waarvan de zijden door een gebied van de parameterruimte lopen waarin de manifolds continu zich continu gedragen.

Als we overal op de grens de eenheidsnormaal naar buiten laten wijzen, dan keert de normaal op $\partial H_{n}^{x}$ van richting om, zodat de bijdrage aan de integraal ook van teken omkeert. Dus worden in deze formule, de bijdragen van de grenzen $\{\partial H_{n}^{x}\}$ afgetrokken van de bijdragen van de grens $\partial \Omega$ . Dit betekent dat $\partial \Omega$ ook de regio's $\{\partial H_{n}^{x}\}$ omringt.

Dit feit maakt de integratie gevoelig voor de ordening van de deelnemende domeinen.

Functies met gemengde domeinen

Het bestaan van platforms die drijven op de top van de achtergrond-parameter ruimte en beschikken over een eigen parameterruimte die eigenaar is van een private ordeningssymmetrie leidt tot het idee van de functies die gedefinieerd zijn op een mix van domeinen die op het achtergrond-parameterruimte drijven. Gesloten grenzen omsluiten de drijvende domeinen. Integratie van de gemengd-domein functies moeten de uitgebreide stelling van Stokes toepassen. Een gemengd-domein functie definieert het inbeddende continuüm. Convolutie van de Green's functie van het inbeddende continuüm met de locatie-dichtheidsverdeling van een module past uitgebreide stelling van Stokes toe.

Omgaan met afwijkende ordeningssymmetrie

Domein $\Omega$ komt overeen met een deel van de achtergrond-parameterruimte ${\mathfrak {R}}$ . Zoals eerder vermeld vertegenwoordigen de symmetriecentra $\{{\mathfrak {S}}_{n}^{x}\}$ ingekapselde gebieden $\{\partial H_{n}^{x}\}$ die drijven op de achtergrond-parameter ruimte ${\mathfrak {R}}$ . het Cartesiaanse assenstelsel ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ staan evenwijdig aan het Cartesiaanse assenstelsel van achtergrond-parameterruimte ${\mathfrak {R}}$ . Alleen de sorteringen langs deze assen kunnen verschillen.

Verder wordt het geometrische middelpunt van symmetrie center ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ vertegenwoordigd door een drijvende locatie op parameterruimte ${\mathfrak {R}}$ .

Het symmetrie center ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ wordt gekenmerkt door een eigen symmetriearoma. Dit symmetriearoma betreft de cartesiaanse ordening van de parameterruimte. Met de vaste oriëntatie van de coördinaatassen, zijn acht onafhankelijke Cartesische ordeningen mogelijk.

Boekhouding van de symmetrie gerelateerde ladingen

Het gevolg van de verschillen in het symmetriearoma voor de aftrekking kan het best worden begrepen wanneer de inkapseling $\partial H_{n}^{x}$ wordt uitgevoerd door een kubische ruimte vorm die is uitgelijnd langs de Cartesiaanse assen die werken op de achtergrond-parameterruimte. Nu dragen de zes zijden van de kubus anders bij aan de effecten van de inkapseling wanneer de ordening van $H_{n}^{x}$ verschilt van de cartesiaanse ordening van de referentie parameterruimte ${\mathfrak {R}}$ . Elke afwijkende as ordening komt overeen met één derde van het oppervlak van de kubus. Dit effect wordt weergegeven door de symmetriegerelateerde lading ,van het symmetrie centrum. Deze symmetriegerelateerde lading omvat de kleurlading. Het is eenvoudig te begrijpen hoe dit gerelateerd is aan het algoritme voor de berekening van de symmetriegerelateerde lading dat hierna geïntroduceerd wordt. Ook zal de relatie met de kleurlading duidelijk zijn. Dus dit effect koppelt de ordening van de lokale parameterruimte met de symmetriegerelateerde lading van het ingekapselde elementaire module. De verschillen met de ordening van de omringende parameterruimte bepaalt de waarde van de symmetrie gerelateerde lading van het object dat zich binnen de inkapseling bevindt!

The consequence of the differences in the symmetry flavor on the subtraction can best be comprehended when the encapsulation $\partial H_{n}^{x}$ is performed by a cubic space form that is aligned along the Cartesian axes that act in the background parameter space. Now the six sides of the cube contribute different to the effects of the encapsulation when the ordering of $H_{n}^{x}$ differs from the Cartesian ordering of the reference parameter space ${\mathfrak {R}}$ . Each discrepant axis ordering corresponds to one third of the surface of the cube. This effect is represented by the symmetry related charge, which includes the color charge of the symmetry center. It is easily comprehensible related to the algorithm which below is introduced for the computation of the symmetry related charge. Also, the relation to the color charge will be clear. Thus, this effect couples the ordering of the local parameter spaces to the symmetry related charge of the encapsulated elementary module. The differences with the ordering of the surrounding space determines the value of the symmetry related charge of the object that resides inside the encapsulation!

Symmetrie gerelateerde ladingen en velden

Het verschil inde ordening-symmetrie tussen een drijvende parameterruimte en de ordening-symmetrie van de achtergrond-parameterruimte definieert het symmetriearoma van het platform waarop zich de zwevende parameterruimte bevindt. Het symmetriearoma bepaalt de symmetrie-gerelateerde lading. De lading lokaliseert in het geometrische midden van het platform en werkt samen met een symmetriegerelateerde veld.

**Symmetrie-aroma**
Sortering	Nr	R/L	clr	chrg	SM type
$\Uparrow \Uparrow \Uparrow \Uparrow$	0	R	N	+0	neutrino
$\Downarrow \Uparrow \Uparrow \Uparrow$	1	L	R	-1	down quark
$\Uparrow \Downarrow \Uparrow \Uparrow$	2	L	G	-1	down quark
$\Downarrow \Downarrow \Uparrow \Uparrow$	3	L	B	-1	down quark
$\Uparrow \Uparrow \Downarrow \Uparrow$	4	R	B	+2	up quark
$\Downarrow \Uparrow \Downarrow \Uparrow$	5	R	G	+2	up quark
$\Uparrow \Downarrow \Downarrow \Uparrow$	6	R	R	+2	up quark
$\Downarrow \Downarrow \Downarrow \Uparrow$	7	L	N	-3	electron
$\Uparrow \Uparrow \Uparrow \Downarrow$	8	R	N	+3	positron
$\Downarrow \Uparrow \Uparrow \Downarrow$	9	L	R	-2	anti-up quark
$\Uparrow \Downarrow \Uparrow \Downarrow$	A	L	G	-2	anti-up quark
$\Downarrow \Downarrow \Uparrow \Downarrow$	B	L	B	-2	anti-up quark
$\Uparrow \Uparrow \Downarrow \Downarrow$	C	R	B	+1	anti-dwn quark
$\Downarrow \Uparrow \Downarrow \Downarrow$	D	R	G	+1	anti-dwn quark
$\Uparrow \Downarrow \Downarrow \Downarrow$	E	R	R	+1	anti-dwn quark
$\Downarrow \Downarrow \Downarrow \Downarrow$	F	L	N	-0	anti-neutrino

Algoritme

De symmetrie gerelateerde lading combineert elektrische lading en kleurlading. Kleurlading betreft de dimensie waarin anisotropie plaatsvindt.

De elektrische lading vloeit voort uit het aantal dimensies waarin de ordening-symmetrieën afwijken. Schakelen tussen rechts- en linkshandigheid verandert het teken van de lading. Antideeltjes tonen tegengestelde lading.

De elektrische ladingen kunnen andere elektrische ladingen aantrekken of afstoten. Daarom nemen ze deel aan de binding van modules.

Ladingsgeometrie

De symmetrie-gerelateerdelading en de kleurlading van symmetrie center ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ worden verondersteld zich op het geometrische centrum van het symmetrie centrum te bevinden. Een Green's functie samen met deze ladingen kunnen de lokale definiërende functie $\varphi ^{x}(q)$ vertegenwoordigen van de bijdrage $\varphi ^{x}$ tot het symmetriegerelateerde veld ${\mathfrak {A}}^{x}$ , binnen en buiten het gebied van de drijvende regio $H_{n}^{x}$ .

Niets anders dan het verschil van de ordening van symmetrie centrum ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ in relatie tot de ordening van de parameterruimte ${\mathfrak {R}}$ veroorzaakt het bestaan van de symmetriegerelateerde lading, die betrekking heeft op het symmetrie centrum. Alles wat zich op dit symmetrisch centrum bevindt zal die symmetriegerelateerde lading erven.

In de formule worden de grenzen $\partial \Omega$ en $\partial H_{n}^{x}$ van elkaar afgetrokken. Het verschil in ordening van de domeinen $\Omega$ en $H_{n}^{x}$ bestuurt deze aftrekking.

De relatie tussen de deelruimte $S_{\Omega }$ die overeenkomt met het domein $\Omega$ en de deelruimte $S_{\mathfrak {R}}$ die overeenkomt met de parameterruimte ${\mathfrak {R}}$ wordt gegeven door:

\underbrace {\Omega } _{S_{\Omega }}\subset \underbrace {\mathfrak {R}} _{S_{\mathfrak {R}}}

(10)

Op dezelfde manier:

\underbrace {H_{n}^{x}} _{S_{H_{n}^{x}}}\subset \underbrace {{\mathfrak {S}}_{n}^{x}} _{S_{{\mathfrak {S}}_{n}^{x}}}

(11)

Twee dimensionale balansvergelijkingen

We gebruiken:

{\vec {E}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ -\nabla _{r}{\vec {\psi }}-{\vec {\nabla }}\psi _{r}

(12)

{\vec {B}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}

(13)

\nabla _{r}{\vec {B}}=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}

(15)

\oint \limits _{C}\langle {\vec {E}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}},d{\vec {A}}\rangle =-\iint \limits _{S}\langle \nabla _{r}{\vec {B}},d{\vec {A}}\rangle

(16)

{\vec {J}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}-\nabla _{r}{\vec {E}}

(17)

\oint \limits _{C}\langle {\vec {B}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle ({\vec {J}}+\nabla _{r}{\vec {E}}),d{\vec {A}}\rangle

(18)