Hilbert Book Model Project/Quaternionic Field Equations/nl

<Hilbert Book Model Project/nl

Quaternionische Veld Vergelijkingen

Inleiding

Maxwell vergelijkingen gebruiken de driedimensionale nabla operator in combinatie met een tijdsafgeleide die de coördinaat tijd gebruikt. De Maxwellvergelijkingen zijn afgeleid van resultaten van experimenten. Daarom bevatten deze vergelijkingen fysische eenheden.

Deze afhandeling van de quaternionische partiële differentiaalvergelijkingen past de quaternionische nabla toe. De vergelijkingen komen niet voort uit de resultaten van experimenten. In plaats daarvan, maken de formules gebruik van het feit dat de quaternionische nabla zich gedraagt ​​als een quaternionisch vermenigvuldigende operator. De overeenkomstige formules bevatten geen fysische eenheden. Deze benadering levert essentiële verschillen tussen Maxwell veldvergelijkingen en quaternionische partiële differentiaalvergelijkingen.

De quaternionische partiële differentiaalvergelijkingen vormen een complete en zelf-consistente verzameling. Zij maken gebruik van de eigenschappen van de driedimensionale ruimtelijke nabla. De bijbehorende formules zijn afkomstig uit Bo Thidé's EMTF boek, Appendix F4. Een andere online-bron is Vector_analyse.

De quaternionische partiële differentiaalvergelijkingen veranderen het formaat van de gegevens niet. Het formaat van de informatie die het veld overdraagt naar waarnemers, die in het veld ingebed zijn wordt beïnvloed door de informatieoverdracht. In plaats van het Euclidische opslagformaat, die heerst op de locatie van de waargenomen gebeurtenis, zien de waarnemers een ruimtetijd formaat, dat een Minkowski signatuur draagt. De Lorentz transform beschrijft de formaat conversie.

Maxwell vergelijkingen gebruiken coördinaat tijd, terwijl quaternionische differentiaalvergelijkingen de echte tijd gebruiken.

Met betrekking tot quaternionen, speelt de norm van het quaternion de rol van de coördinaattijd. De tijd waarden gelden niet in hun absolute versies. In dit document worden dus alleen tijdsintervallen toegepast.

Hilbertruimten kunnen alleen omgaan met getallenstelsels die delingsringen vormen. In een delingsring, bezitten alle niet-nul leden een unieke inverse.

Er bestaan slechts drie geschikte delingsringen. Dit zijn de reële getallen, de complexe getallen, en de quaternionen.

De dynamische geometrische gegevens die worden weergegeven met een door een Minkowski handtekening gekenmerkt formaat moeten eerst worden ontmanteld in reële getallen voordat ze in een Hilbertruimte kunnen worden gebruikt. Quaternionen kunnen zonder demontage worden opgeslagen en opgehaald.

Kwantumfysici gebruiken Hilbertruimten voor de modellering van hun theorie. Echter, de meeste kwantumfysici gebruiken op complexe getalllen gebaseerde Hilbertruimten.

Quaternionische kwantummechanica lijkt een natuurlijke keuze te vertegenwoordigen.

Formaat conversie

Een alleen-lezen bewaarplaats in de vorm van de combinatie van een quaternionische oneindig dimensionale separabele Hilbertruimte en de niet-separabele compagnon slaan de dynamische geometrische gegevens die de waargenomen gebeurtenis in een Euclidisch formaat samenstellen op in de vorm van combinaties van een tijdstempel en een driedimensionale ruimtelijke locatie. Quaternionen fungeren als opslag containers. Een eigen tijdstempel en een ruimtelijke locatie karakteriseren de waarnemer. De waarnemer krijgt alleen toegang tot opslaglocaties waarvan de tijdstempel dateert van voor zijn eigen tijdstempel. Een continuüm transporteert ​​deze informatie naar de waarnemer. De snelheid van de informatieoverdracht van het continuüm heeft een vaste waarde. Daarom is de informatieoverdracht van invloed op het formaat van de informatie die de waarnemer ontvangt. Een snelheidsverschil tussen waargenomen gebeurtenis en de waarnemer dat ongelijk aan nul is, comprimeert waargenomen lengtes en verlengt de duur van gebeurtenissen. De Lorentztransformatie is een hyperbolische transformatie die de conversie beschrijft.

Quaternionische differentiaalrekening beschrijft de wisselwerking tussen afzonderlijke objecten en het continuüm op de plaats waar gebeurtenissen plaatsvinden. Het omzetten van de resultaten van deze berekeningen door de Lorentztransformatie beschrijft de informatie in het formaat dat de waarnemers te zien krijgen. Waarnemers zien in de ruimtetijd formaat. Dit formaat is voorzien van een Minkowski signatuur. De Lorentztransformatie converteert vanuit het Euclidisch opslagformaat in de situatie van het waargenomen evenement naar het door de waarnemer ontvangen ruimtetijd formaat.

Opslag model

In dit model is het tijdstip van opslag van de gebeurtenisgegevens irrelevant zolang het vroeger ligt dan het opgeslagen tijdstempel aangeeft. Aldus kan het model alle gegevens opslaan op een moment dat voorafgaat aan alle opgeslagen tijdstempel waarden. Dit personaliseert het model als de schepper van het universum waarin de waarneembare gebeurtenissen en de waarnemers bestaan.

De bewaarplaats verenigt Hilbertruimte operator technologie met quaternionische functie theorie en quaternionische differentiaal en integraalrekening. De separabele Hilbertruimte slaat typisch de discrete quaternionische data op. Deze kunnen voorkomen als verspreide gegevens, of als coherente zwermen of als geordende verdelingen. Coördinatenstelsels kunnen coherente dicht opeengepakte zwermen rangschikken zodat zij met locatie dichtheidsverdelingen beschreven kunnen worden. De niet-separabele Hilbertruimte omsluit de separabele Hilbertruimte, en op deze wijze worden de geordende gegevensverzamelingen deel van de niet-separabele Hilbertruimte. De niet-separabele Hilbertruimte vormt opslag voor continuüms. In de niet-separabele Hilbertruimte, beschrijven quaternionische functies de continuüms. Op deze wijze kunnen de coherente zwermen door een continuüm worden ingebed. Het inbedden is een proces dat een convolutie inhoudt van de locatie dichtheidsverdeling van de coherente zwerm met Green's-functie van het continuüm. Differentiaalvergelijkingen beschrijven het gedrag van de continuüms. In deze pagina, beschouwen we enkel continuüms die door grotendeels continue quaternionische functies beschreven kunnen worden.

Velden

In het Hilbert Boek Model zijn velden eigenruimten van operators die zich in de niet-separabele Hilbertruimte bevinden. Continue of grotendeels continue functies definiëren deze operatoren en afgezien van enkele afwijkende regio's zijn hun eigenruimten continuüms. Deze regio's kunnen verschrompelen tot enkelvoudige puntvormige artefacten. De parameterruimten van deze functies bestaan ​​uit quaternionische getallenstelsels. Bijgevolg de reële coëfficiënten van deze quaternionische parameters onderling onafhankelijk en de differentiële verandering kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van partiële differentialen. Nu is de totale differentiale verandering ${\textstyle df}$ van veld ${\textstyle f}$ gelijk aan

$df={\frac {\partial {f}}{\partial {\tau }}}d\tau +{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}{\vec {i}}dx+{\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}{\vec {j}}dy+{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}{\vec {k}}dz$

(1)

In deze vergelijkingzijn de partiële differentialen ${\textstyle {\frac {\partial {f}}{\partial {\tau }}},{\frac {\partial {f}}{\partial {x}}},{\frac {\partial {f}}{\partial {y}}},{\frac {\partial {f}}{\partial {z}}}}$ quaternionen.

The quaternionische nabla ${\textstyle \nabla }$ veronderstelt de bijzondere voorwaarde dat partiële differentialen langs de assen van het Cartesiaanse coördinatenstelsel lopen. Dus

$\nabla =\sum _{i=1}^{n}{\vec {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}={\frac {\partial {}}{\partial {\tau }}}+{\vec {i}}{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}+{\vec {j}}{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}+{\vec {k}}{\frac {\partial {}}{\partial {z}}}$

(2)

Het Hilbert Boek model neemt aan dat de quaternionische velden gematigd veranderen, zodat alleen de eerste en tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen het model beschrijven. Deze vergelijkingen kunnen velden beschrijven, waarvan de continuïteit verstoord wordt door puntvormige artefacten.Warpen, clampen en Green's functies beschrijven dergelijke verstoringen.

Gegeneraliseerde veldvergelijkingen

Gegeneraliseerde veldvergelijkingen gelden voor alle basis velden. Gegeneraliseerde veldvergelijkingen passen het best in een quaternionische setting.

Quaternionen bestaan ​​uit een reëel scalair deel en een driedimensionale ruimtelijke vector die het imaginaire deel vertegenwoordigt. De vector heeft reële coëfficiënten.

De vermenigvuldigingsregel van quaternionen geeft aan dat verscheidene onafhankelijke delen het product samenstellen.

In dit commentaar, maken we gebruik van een suffix ${\textstyle _{r}}$ om het scalaire reële deel van een quaternion weer te geven. We gebruiken de indicatie ${\textstyle {\vec {a}}}$ om het imaginaire vector deel van quaternion ${\textstyle a}$ aan te duiden.

$c=c_{r}+{\vec {c}}=ab=(a_{r}+{\vec {a}})(b_{r}+{\vec {b}})=a_{r}b_{r}-\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle +a_{r}{\vec {b}}+{\vec {a}}b_{r}{\color {Red}\pm }{\vec {a}}\times {\vec {b}}$

(3)

De ${\textstyle {\color {Red}\pm }}$ in vergelijking (3) geeft aan dat quaternionen in rechtshandige en linkshandige uitvoering bestaan.

Deze formule kan gebruikt worden om de volledigheid van een reeks vergelijkingen die voortvloeien uit de toepassing van het productregel controleren.

The quaternionische conjugaat van ${\textstyle a}$ is ${\textstyle a^{*}=a_{r}-{\vec {a}}}$

Uit de productregel volgt de formule voor de norm ${\textstyle |a|}$ van quaternion ${\textstyle a}$.

$|a|^{2}=aa^{*}=(a_{r}+{\vec {a}})(a_{r}-{\vec {a}})=a_{r}a_{r}+\langle {\vec {a}},{\vec {a}}\rangle$

(4)

We definieren de quaternionische nabla als ${\textstyle \nabla =\left\{{\partial \over \partial \tau },{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}=\nabla _{r}+{\vec {\nabla }};\quad \nabla _{r}={\partial \over \partial \tau };\quad {\vec {\nabla }}=\left\{{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}}$.

De quaternionische nabla ${\textstyle \nabla }$gedraagt ​​zich als een vermenigvuldigende operator. De (partiële) differentiaal ${\textstyle \nabla \psi }$vertegenwoordigt de volledige eerste orde verandering van het veld ${\textstyle \psi }$.

We veronderstellen dat ${\textstyle \varphi =\nabla \psi }$ in een omsloten gebied van het domein van ${\textstyle \psi }$ bestaat.

Eerste orde partiële differentiaalvergelijking

$\varphi =\varphi _{r}+{\vec {\varphi }}=\nabla \psi =(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=\nabla _{r}\psi _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle +\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {\nabla }}\psi _{r}{\color {Red}\pm }{\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}$

(5)

De vergelijking is een quaternionische eerste orde partiële differentiaalvergelijking.

De vijf termen aan de rechterzijde vertegenwoordigen de componenten die de volledige eerste orde verandering vormen.

Zij vertegenwoordigen deelgebieden van het veld $\varphi$, En vaak krijgen ze speciale namen en symbolen.

Subvelden

${\vec {\nabla }}\psi _{r}$ is de gradient van $\psi _{r}$

$\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle$ is de divergentie van ${\vec {\psi }}$.

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}$ is de rotatie van ${\vec {\psi }}$

$\varphi _{r}=\nabla _{r}\psi _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle$

(6)

(Vergelijking (4) heeft geen equivalent in de Maxwell vergelijkingen!)

${\vec {\varphi }}=\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {\nabla }}\psi _{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}=\mp {\vec {B}}-{\vec {E}}$

(7)

${\vec {E}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ -\nabla _{r}{\vec {\psi }}-{\vec {\nabla }}\psi _{r}$

(8)

${\vec {B}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}$

(9)

${\vec {J}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}-\nabla _{r}{\vec {E}}$

(10)

Interpretatie van de termen

Door de nabla vervangen door een genormaliseerde richting waarin verandering plaatsvindt, de vector termen in de eerste orde partiële differentiaalvergelijking krijgt een bepaalde interpretatie, die zal worden gebruikt bij de integrale vergelijkingen.

${\vec {\nabla }}\psi ={\vec {\nabla }}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle +{\vec {\nabla }}\psi _{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}\Longleftrightarrow {\vec {n}}\psi ={\vec {n}}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle +\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {n}}\psi _{r}\pm {\vec {n}}\times {\vec {\psi }}$

(11)

Eigenschappen van de ruimtelijke nabla operator

De nabla product is niet associatief. Dus

$\nabla (\nabla ^{*}\psi )=\nabla ^{*}(\nabla \psi )=(\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi \neq (\nabla \nabla ^{*})\psi =(\nabla ^{*}\nabla )\psi =(\nabla _{r}\nabla _{r}+{\vec {\nabla }}{\vec {\nabla }})\psi =(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }})\psi$

De quaternionische nabla ${\textstyle \nabla }$ en de ruimtelijke nabla ${\textstyle {\vec {\nabla }}}$ gedragen zich op een ingewikkelde manier. Een speciale pagina is gewijd aan deze nabla operatoren.

Tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen

We beginnen met de quaternionische equivalent van de Maxwell-Faraday vergelijking.

$\nabla _{r}{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times (\nabla _{r}{\vec {\psi }})=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}$

(12)

Er bestaan twee interessante quaternionische tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen.

$\zeta =(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi$

(13)

Dit is het quaternionische equivalent van de golfvergelijking. Het biedt golven als deel van de oplossingen van de homogene vergelijking.

$\chi =\nabla ^{*}\varphi =\nabla ^{*}\nabla \psi =\nabla \nabla ^{*}\psi =(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})(\varphi _{r}+{\vec {\varphi }})=(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=(\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi$

(14)

Deze vergelijking kan worden gesplitst in twee eerste orde partiële golfvergelijkingen $\chi =\nabla ^{*}\varphi$ en $\varphi =\nabla \psi$.

Deze vergelijking heeft geen golven te bieden als onderdeel van de oplossingen van de homogene vergelijking.

Differentiaaloperatoren

$D=(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )$

(15)

Dit is de quaternionische equivalent van d'Alembert's operator.

$\boxdot =(\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )$

(16)

Deze operator heeft nog geen bekende naam.

Operator $\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle$ vertegenwoordigt het grootste deel van de Poissonvergelijking. Samen met $\nabla _{r}\nabla _{r}$ configureert deze operator de bovenstaande operators.

Zoals hierboven getoond, kan $\boxdot$ van de nabla operator worden afgeleid. Dat kan niet zomaar gezegd worden van de 'dAlemberts operator..

Golfvergelijking uit de Maxwellvergelijkingen

Gauge vergelijkingen moeten aan de Maxwell vergelijkingen toegevoegd worden om er de golfvergelijking van af te kunnen leiden.

Oplossingen

De quaternionische tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen bieden een aantal interessante oplossing die een belangrijke rol bij de Hilbert Book Model spelen.

Een speciale pagina is gewijd aan deze oplossingen.

Poisson vergelijking en Green's functie

De Poisson vergelijking

$\phi =\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \psi =G\circ \xi$

(17)

beschrijft hoe het veld met zijn Green's functie $G$ reageert op een distributie $\xi$ van puntvormige triggers.

$G({\vec {q}}-{\vec {c}})=1/|{\vec {q}}-{\vec {c}}|$

(18)

Passage door een oppervlak en balansvergelijkingen

Zoals Maxwell's vergelijkingen, de quaternionische partiële differentiaalvergelijkingen betrekking op oppervlak en volume-integralen. De differentiaalvergelijkingen zijn continuïteitsvergelijkingen en de integraal vergelijkingen vertegenwoordigen balansvergelijkingen. De pagina over de uitgebreide Stokes Theorema behandelt het geval dat het ingekapselde domein meerdere parameterruimten bevat.

Met betrekking tot een lokaal gedeelte van een gesloten grens dat loodrecht op vector 𝙣 staat, relateren de partiële differentialen als

${\vec {\nabla }}\psi ={\vec {\nabla }}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle +{\vec {\nabla }}\psi _{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}\Longleftrightarrow {\vec {n}}\psi ={\vec {n}}(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=-\langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle +\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {n}}\psi _{r}\pm {\vec {n}}\times {\vec {\psi }}$

(19)

Dit wordt in de algemene Stokes theorema benut.

$\iiint \langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle \,dV=\oiint \ \langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle \,dS$

(20)

Deze vergelijking is de quaternionische equivalent van de divergentiestelling.

$\iiint {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}\,dV=\oiint \ {\vec {n}}\times {\vec {\psi }}\,dS$

(21)

Deze vergelijking is een equivalent van de gegeneraliseerde stelling van Stokes.

$\iiint {\vec {\nabla }}\psi _{r}\,dV=\oiint \,\psi _{r}\,{\vec {n}}\,dS$

(22)

$\iiint {\vec {\nabla }}\psi \,dV=\oiint \,{\vec {n}}\,\psi \,dS$

(23)

De laatste vergelijking combineert de drie voorgaande vergelijkingen.

Dit resultaat verandert termen in de differentiële continuïteitsvergelijking in een set corresponderende integraal balansvergelijkingen.

Het verduidelijkt ook wat de termen van de continuïteitsvergelijking betekenen.

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }})={\vec {\nabla }}\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle -\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle {\vec {\psi }}\Longleftrightarrow {\vec {n}}\times ({\vec {n}}\times {\vec {\psi }})={\vec {n}}\langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle -\langle {\vec {n}},{\vec {n}}\rangle {\vec {\psi }}$

(24)

$\iiint {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }})\,dS=\oiint \,\langle {\vec {n}},{\vec {\psi }}\rangle \,{\vec {n}}\,dS-\oiint \,{\vec {\psi }}\,dS$

(25)

Een dimensie minder

We kunnen een dimensie naar beneden gaan door het toepassen van het Kelvin-Stokes theorem.

$\oint \limits _{C}\langle {\vec {a}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {a}},{\vec {n}}\rangle dS$

(26)

Dit leidt tot curve–oppervlakte integralen.

Het quaternionische equivalent van de wet van Ampère is

${\vec {J}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}-\nabla _{r}{\vec {E}}\Longleftrightarrow {\vec {J}}={\vec {n}}\times {\vec {B}}-\nabla _{r}{\vec {E}}$

(27)

$\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}},{\vec {n}}\rangle dS=\oint \limits _{C}\langle {\vec {B}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle ({\vec {J}}+\nabla _{r}{\vec {E}}),{\vec {n}}\rangle dS$

(28)

. Het quaternionische equivalent van de wet van Faraday is

$\nabla _{r}{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times (\nabla _{r}{\vec {\psi }})=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\Longleftrightarrow \nabla _{r}{\vec {B}}={\vec {n}}\times (\nabla _{r}{\vec {\psi }})=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}$

(29)

$\oint \limits _{C}\langle {\vec {E}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}},{\vec {n}}\rangle dS=-\iint \limits _{S}\langle \nabla _{r}{\vec {B}},{\vec {n}}\rangle dS$

(30)

${\vec {J}}={\vec {\nabla }}\times ({\vec {B}}-{\vec {E}})-\nabla _{r}({\vec {B}}-{\vec {E}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {\varphi }}-\nabla _{r}{\vec {\varphi }}={\vec {v}}\,\rho$

(31)

$\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\varphi }},{\vec {n}}\rangle dS=\oint \limits _{C}\langle {\vec {\varphi }},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle ({\vec {v}}\rho +\nabla _{r}{\vec {\varphi }}),{\vec {n}}\rangle dS$

(32)

Lorentz kracht

Bovenstaande vergelijkingen maken de afleiding van de vergelijking voor de Lorentz kracht mogenlijk. We starten met de Maxwell-Faraday vergelijking

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\nabla _{r}{\vec {B}}$

(33)

$\oint \limits _{C}\langle {\vec {E}},d{\vec {l}}\rangle =\iint \limits _{S}\langle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}},{\vec {n}}\rangle dS=-\iint \limits _{S}\langle \nabla _{r}{\vec {B}},{\vec {n}}\rangle dS$

(34)

${\frac {d}{d\tau }}\iint \limits _{S}\langle {\vec {B}},{\vec {n}}\rangle dS=\iint \limits _{S(\tau _{0})}\langle {\dot {\vec {B}}}(\tau _{0}),{\vec {n}}\rangle dS+{\frac {d}{d\tau }}\iint \limits _{S(\tau )}\langle {\vec {B}}(\tau _{0}),{\vec {n}}\rangle dS$

(35)

De Leibniz integraal vergergelijking zegt

${\frac {d}{dt}}\iint \limits _{S(\tau )}\langle {\vec {X}}(\tau _{0}),{\vec {n}}\rangle dS=\iint \limits _{S(\tau _{0})}\langle {\dot {\vec {X}}}(\tau _{0})+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {X}}(\tau _{0})\rangle \,{\vec {v}}(\tau _{0}),{\vec {n}}\rangle dS-\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {v}}(\tau _{0})\times {\vec {X}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle$

(36)

Met ${\vec {X}}={\vec {B}}$ and $\langle {\vec {\nabla }},{\vec {B}}\rangle =0$ volgt

${\frac {d\Phi _{B}}{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\iint \limits _{S(\tau )}\langle {\vec {B}}(\tau ),{\vec {n}}\rangle dS=\iint \limits _{S(\tau _{0})}\langle {\dot {\vec {B}}}(\tau _{0}),{\vec {n}}\rangle dS-\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {v}}(\tau _{0})\times {\vec {B}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle =-\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {E}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle -\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {v}}(\tau _{0})\times {\vec {B}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle$

(37)

De elektromotorische kracht (EMF) ${\mathcal {E}}$ is gelijk aan

${\mathcal {E}}=\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\frac {{\vec {F}}(\tau _{0})}{q}},d{\vec {l}}\rangle =-{\frac {d\Phi _{B}}{d\tau }}{\biggl |}_{\tau =\tau _{0}}=\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {E}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle +\oint \limits _{C(\tau _{0})}\langle {\vec {v}}(\tau _{0})\times {\vec {B}}(\tau _{0}),d{\vec {l}}\rangle$

(38)

${\vec {F}}=q\,{\vec {E}}+q\,{\vec {v}}\times {\vec {B}}$

(39)

Veld van een demo zwerm

Onder puur sferische condities reduceert de Laplaciaan tot:

$\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \psi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\biggl (}r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}{\biggr )}$

(40)

Voor de beschrijving van de locatiezwerm door het veld, vervaagt de Green's functie de locatiedichtheidsverdeling van de zwerm. Als de locatiedichtheidsverdeling de vorm heeft van een Gauss-verdeling, dan is de vervaagde functie de convolutie van deze locatiedichtheidsverdeling en de Green's functie.

De Gauss-distributie is gegeven door

$\rho (r)={\frac {1}{(\sigma {\sqrt {2\pi }})^{3}}}\exp(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}})$

(41)

De vorm van dit voorbeeld wordt gegeven door:

${\mathfrak {T}}(r)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {ERF({\frac {r}{\sigma {\sqrt {2}}}})}{r}}$

(42)

In deze functie is elk spoor van de singulariteit van de Green's functie verdwenen. Het is te wijten aan de verdeling en het enorme aantal van de deelnemende huplocaties. Deze vorm is slechts een voorbeeld.

Zulke extra potentialen voegen een lokale bijdrage toe aan het veld dat als leefruimte optreedt voor de modules en de modulaire systemen

De getoonde extra bijdrage is te wijten aan een lokaal aanwezige elementair module dat door de zwerm vertegenwoordigt wordt .

Samen vormen dergelijke hobbels hogere modules en samen vormt een groot aantal van dergelijke hobbels de totale leefruimte.

• 
  Potential van een Gaussische verdeling

Dus,voor een Gaussische locatie verdeling van puntvormige artefacten is de corresponderende bijdrage aan veld $\psi$ gelijk aan een ERF functie gedeeld door zijn argument. .

Kracht opwekkend veld

Vanuit de differentiaalvergelijkingen, is het niet direct duidelijk hoe velden krachten kunnen oproepen, een tweede blik op deze vergelijkingen kan verhelderen hoe velden krachten op discrete objecten uitoefenen.

Neem aan dat een uniform bewegende coherent zwerm overeenkomt met scalair potentiaal $\varphi (x)$ die zijn vorm behoudt en resideert op een uniform bewegend platform.

Met betrekking tot de achtergrond parameter ruimte wordt deze scalaire potentiaal een vectorpotentiaal ${\vec {\psi }}={\vec {v}}\,\varphi$.

Verder is $\psi _{r}=\varphi$.

Op enige afstand van het centrum van de zwerm gedraagt de scalaire potentiaal zich als

$\varphi \approx {\frac {Q_{1}}{|r|}}$

(43)

${\vec {\nabla }}\varphi \approx {\frac {Q_{1}\,{\vec {r}}}{|r|^{3}}}$

(44)

Nu bekijken we de situatie dat de totale verandering $\phi =\nabla \,\psi$ van veld $\psi$ gelijk aan nul is.

$\phi ={\color {Red}\nabla _{r}\psi _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\psi }}\rangle +}\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {\nabla }}\psi _{r}{\color {Red}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}}$

(45)

Bovendien veronderstellen we dat de rood gekleurde termen gelijk aan nul zijn. en dat het veld rotatievrij is.

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}=0$

(46)

$\nabla _{r}{\vec {\psi }}=-{\vec {\nabla }}\psi _{r}$

(47)

$\nabla _{r}\,{\vec {\psi }}=(\nabla _{r}\,{\vec {v}})\,\varphi ={\vec {a}}\,\varphi$

(48)

${\vec {\nabla }}\psi _{r}={\vec {\nabla }}\varphi \approx {\frac {Q_{1}\,{\vec {r}}}{|r|^{3}}}$

(49)

${\vec {E}}={\frac {Q_{1}\,{\vec {r}}}{|r|^{3}}}={\vec {a}}\,{\frac {Q_{1}}{|r|}}$

(50)

In deze omstandigheden produceert de versnelling ${\vec {a}}$ van de zwerm een extra veld ${\vec {E}}$.

Voor een tweede lading $Q_{2}$ produceert dit veld ${\vec {E}}$ een kracht gelijk aan ${\vec {F}}={\vec {E}}\ Q_{2}$.

$F({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})=E({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\,Q_{2}\approx {\frac {Q_{1}\,Q_{2}\,({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}$

(51)

Inertia

Vergelijking (51)geeft aan dat versnelling van een ingebed object tegengewerkt wordt door het inbeddende veld.

Lorentz transformatie

De schok fronten bewegen met snelheid $c$. In de quaternionische setting, is deze snelheid gelijk aan een.

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}$

(52)

Zwermen van clamp triggers bewegen met een lagere snelheid $v$.

Voor het geometrische center van deze zwermen geldt nog steeds:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-c^{2}t'^{2}$

(53)

Indien de locaties $\{x,y,z\}$ en $\{x',y',z'\}$ met uniforme snelheid $v$, relatief ten opzichte van elkaar bewegen dan

$c\,t'=c\,t\cosh(\omega )-x\sinh(\omega )$

(54)

$x'=x\cosh(\omega )-c\,t\sinh(\omega )$

(55)

$\cosh(\omega )={\frac {\exp(\omega )+\exp(-\omega )}{2}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$

(56)

$\sinh(\omega )={\frac {\exp(\omega )-\exp(-\omega )}{2}}={\frac {v}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$

(57)

$\cosh(\omega )^{2}-\sinh(\omega )^{2}=1$

(58)

Dit is een hyperbolische transformatie die twee coördinatensystemen verbindt.

Deze transformatie kan betrekking hebben op twee platforms $P$ en $P'$ waarop zich zwermen bevinden en die bewegen met uniforme relatieve snelheid $v$.

Het kan echter ook betrekking hebben op de opslaglocatie  $P$ dat tijdstempel $\tau$ en ruimtelijke locatie $\{x,y,z\}$ bevat en platform $P'$ dat coördinaat tijd $t'$ heeft en ruimtelijke locatie $\{x',y',z'\}$.

Zo betreft de hyperbolische transformatie twee afzonderlijke platforms waarop de private zwermen van individuele elementaire deeltjes bevinden.

Het verbindt eveneens de opgeslagen gegevens van een elementair deeltje en het waargenomen formaat van deze gegevens voor het elementaire deeltje dat ten opzichte van de achtergrond parameter ruimte beweegt met snelheid $v$

Materiaal doordringend veld

Basieke velden kunnen homogene gebieden van materiaal binnen te dringen. Binnen deze regio's, zijn de velden verfrommeld. Bijgevolg is de gemiddelde snelheid van warps, clampen en golven verminderd of worden deze trillingen gewoon weg gedempt.

Het basieke veld dat we hier te beschouwen is een afgevlakte versie ${\widehat {\psi }}$ van het oorspronkelijke veld  $\psi$ dat in het materiaal doordringt.

${\vec {\varphi }}=\nabla _{r}{\vec {\psi }}+{\vec {\nabla }}{\psi }_{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\psi }}=\mp {\vec {B}}-{\vec {E}}$

${\vec {\phi }}=\nabla _{r}{\vec {\widehat {\psi }}}+{\vec {\nabla }}{\widehat {\psi }}_{r}\pm {\vec {\nabla }}\times {\vec {\widehat {\psi }}}=\mp {\vec {\mathfrak {B}}}-{\vec {\mathfrak {E}}}$

De eerste orde partiële differentiaalvergelijking verandert niet veel. De afzonderlijke termen in de eerste orde differentiaalvergelijkingen worden met een materiaal afhankelijke factor gecorrigeerd en er verschijnen extra materiaal afhankelijke termen.

Deze extra termen corresponderen met polarisatie  ${\vec {P}}$ en magnetisatie ${\vec {M}}$ van het materiaal en de factoren betreffen diëlektrische constante $\epsilon$ and the permeabiliteit $\mu$ van het materiaal.

Dit resulteert in correcties in het  ${\vec {\mathfrak {E}}}$ en het ${\vec {\mathfrak {B}}}$ veld de gemiddelde snelheid van warps en golven reduceert van 1 to $v={\frac {1}{\sqrt {\epsilon \mu }}}$.

${\vec {D}}=\epsilon {\vec {\mathfrak {E}}}+{\vec {P}}$

(59)

${\vec {H}}={\frac {1}{\mu }}{\vec {\mathfrak {B}}}-{\vec {M}}$

(60)

$\rho _{b}=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {P}}\rangle$

(61)

$\rho _{f}=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {D}}\rangle$

(62)

${\vec {J}}_{b}={\vec {\nabla }}\times {\vec {M}}+\nabla _{r}{\vec {P}}$

(63)

${\vec {J}}_{f}={\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}-\nabla _{r}{\vec {D}}$

(64)

Het subscript $_{b}$ geeft gebondenheid aan. Het subscript $_{f}$ geeft vrijdom aan.

$\rho ={\frac {1}{\epsilon }}\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\mathfrak {E}}}\rangle =\rho _{b}+\rho _{f}$

(65)

${\vec {J}}={\frac {1}{\mu }}{\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathfrak {B}}}-{\frac {\epsilon }{\mu }}\nabla _{r}{\vec {\mathfrak {E}}}={\vec {J}}_{b}+{\vec {J}}_{f}$

(66)

${\vec {\phi }}={\vec {\mathfrak {E}}}-{\vec {\mathfrak {B}}}={\frac {1}{\epsilon }}({\vec {D}}-{\vec {P}})-\mu ({\vec {H}}+{\vec {M}})$

(67)

De homogene tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen gelden voor het afgevlakte gebied ${\widehat {\psi }}$.

$\{\nabla _{r}\nabla _{r}\pm v^{2}\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \}{\widehat {\psi }}=0$

(68)

Poynting vector

De Poynting vector vertegenwoordigt de gerichte energie fluxdichtheid (de snelheid van de energieoverdracht per oppervlakte-eenheid) van een basiek veld .

Het quaternionische equivalent van de Poynting vector wordt gedefinieerd als

${\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}$

(69)

$u$ is de elektromagnetische energiedichtheid voor lineaire, niet-dispersieve materialen, en wordt gegeven door

$u={\frac {\langle {\vec {E}},{\vec {B}}\rangle +\langle {\vec {B}},{\vec {H}}\rangle }{2}}$

(70)

${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {S}}\rangle -\langle {\vec {J}}_{f},{\vec {E}}\rangle$

(71)