Translations:

Getallenstelsels

Getallenstelsels bestaan in vele vormen. Ze verschillen in hun rekenkundige capaciteiten.

Algoritmen bestaan die hoger dimensionale getallenstelsels van lager dimensionale getallenstelsels construeren. Op deze wijze neemt de dimensie toe met een factor twee. Deze procedures starten vanaf de reële getallen en de produceren complexe getallen, quaternionen, octonionen, sedionen en nog hoger dimensionale getallen.

De rekenkundige capaciteiten neemt toe met de dimensie van het getallenstelsel totdat die dimensie vier bereikt en daarna beginnen de rekenkundige capaciteiten te dalen.

Hilbertruimten kunnen alleen getallenstelsels verwerken die delingsringen vormen. In een delingsring, bezit elk niet-nul-lid een unieke inverse.

Bi-quaternionen gebruiken op complexe getallen gebaseerde coëfficiënten, in plaats van op reële getallen gebaseerde coëfficiënten. De bi-quaternionen vormen geen delingsring.

Natuurlijke getallen vormen de eenvoudigste delingsring. De positieve getallen en de gehele getallen zijn uitbreidingen van het natuurlijke getallenstelsel.

Rationale getallen bestaan uit groepen van fracties die dezelfde waarde hebben. Alle rationale getallen kunnen worden gelabeld met een natuurlijk getal. Dit maakt het rationale getallenstelsel telbaar.

Het reële getallenstelsel voegt alle grenzen van convergente reeksen van rationale getallen aan het rationale getallenstesel. Deze toevoeging vernietigt de telbaarheid van het reële getallenstelsel. Het reële getallenstelsel is een continuüm.

Het stelsel van de natuurlijk getallen, het stelsel van de positieve getallen, het stelsel van de gehele getallen en het stelsel van de rationele getallen bevatten elk oneindig veel elementen. Cantor introduceerde het begrip kardinaliteit. De kardinaliteit wordt aangegeven door natuurlijke getallen, maar de kardinaliteit cardinality van de volledige set van natuurlijke getallen wordt aangegeven door kardinaliteit $\aleph _{0}$ ,

De kardinaliteit van de reële getallen, de complexe getallen, de quaternionen, de octonionen en de sedionen is gelijk aan $\aleph _{1}$ . Ook bestaan nog hogere kardinaliteiten.

Het Hilbert Boek Model gebruikt getallenstelsels die geschikt zijn voor het basismodel, dat is gebaseerd op een combinatie van een oneindigdimensionale separabele Hilbertruimte en diens unieke niet-separabele metgezel die haar separabele partner insluit. Het model selecteert de meest veelzijdige delingsring. Het quaternionische getallenstelsel omvat het reëel getallenstelsel en de complexe getallen als deelverzamelingen.

Versies

Afhankelijk van hun dimensie, kunnen getallenstelsels in vele versies bestaan die verschillen in hun orderningssymmetrie. Met een Cartesisch coördinatensysteem gevolgd door een polair coördinatensysteem kan deze ordeningssymmetrie bereikt worden. Het Hilbert Boek Model maakt gebruik van het feit dat een quaternionische Hilbertruimte meerdere versies van het quaternionische getallenstelsels kan herbergen. Deze versies dienen als parameterruimtes die elk een eigen private ordeningssymmetrie bezitten. Deze parameterruimte kan drijven op de top van een achtergrondparameterruimte. Het verschil tussen de ordeningssymmetrie van een drijvend platform en de ordeninssymmetrie van de achtergrondparameterruimte bepaalt het symmetrieboeket van het platform.

Quaternion rekenkunde

Quaternionen bestaan uit een eendimensionaal reëel deel en een driedimensionaal imaginair deel dat gerepresenteerd kan worden door een reëel getal als scalaire waarde en een driedimensionale vector die coëfficiënten bestaande uit reële getalwaarden heeft. Zo vormt het quaternionische getallenstelsel een vier-dimensionale vectorruimte die een Euclidische structuur wordt gekenmerkt.

Hier vertegenwoordigen we een quaternion $q$ door een reëel deel $q_{r}$ en een ruimtelijk vector deel ${\vec {q}}$ .

q\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,q_{r}+{\vec {q}}

(1)

De quaternionische conjugaat $q^{*}$ is

q^{*}\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,q_{r}-{\vec {q}}

(2)

Sommatie is commutatief en associatief

a+b=b+a

(3)

(a+b)+c=a+(b+c)

(4)

Vermenigvuldiging volgt uit

a\,b=(a_{r}+{\vec {a}})(b_{r}+{\vec {b}})=a_{r}\,b_{r}-\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle +a_{r}\,{\vec {b}}+b_{r}\,{\vec {a}}\ {\color {Red}\pm }\ {\vec {a}}\times {\vec {b}}

(5)

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle$ is het inwendige vectorproduct en ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ is het uitwendige vectorproduct.

${\color {Red}\pm }$ geeft aan dat afhankelijk van de ordeningssymmetrie,het quaternionische getallenstelsel bestaat in rechtshandige en linkshandige versies.

Een rechtshandig quaternion kan niet vermenigvuldigen met een linkshandig quaternion.

(a\,b)^{*}=b^{*}\,a^{*}

(6)

De norm $|q|$ is gelijk aan

|q|={\sqrt {q\,q^{*}}}={\sqrt {q_{r}q_{r}+\langle {\vec {q}},{\vec {q}}\rangle }}

(7)

q^{-1}={\frac {q^{*}}{|q|^{2}}}

(8)

Fase

De fase $q_{\varphi }$ in radialen van quaternion $q$ volgt uit

q=|q|\exp {\biggl (}q_{\varphi }\,{\frac {\vec {q}}{|{\vec {q}}|}}{\biggr )}

(9)

${\frac {\vec {q}}{|{\vec {q}}|}}$ is the ruimtelijke richting van $q$ .

Quaternionische rotatie

In vermenigvuldiging, commuteren quaternionen niet. Dus in het algemeen, $a\,b/a\neq b$ . In deze vermenigvuldiging, wordt het imaginaire deel van $b$ dat verticaal op het imaginaire deel van $a$ staat geroteerd over een hoek die tweemaal zo groot is dan de complexe fase $\varphi$ van $a$ .

Quaternionische rotatie

Deze grafiek betekent dat als $\varphi =\pi /4$ , dan schuift de rotatie $a\,b/a$ het deel $b_{\perp }$ naar een andere dimensie. Dit feit plaatst quaternionen waarvan het reële deel even groot is als het imaganaire deel in een speciale categorie. Dergelijke quaternionparen kunnen de toestand schakelen van tristate systemen. Zij kunnen bijvoorbeeld de kleurlading van quarks switchen. Dat betekent dat ze zich als gluons gedragen.