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Quaternionen

Zahlensysteme

Zahlensysteme existieren in vielen Formen. Sie unterscheiden sich in ihren arithmetischen Fähigkeiten.

Es gibt Algorithmen, die höher dimensionierte Zahlensysteme aus niedrig dimensionierten Zahlensystemen konstruieren. Auf diese Weise nimmt die Dimension mit dem Faktor zwei zu. Diese Prozeduren beginnen von den reellen Zahlen und erzeugen komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktonionen, Sedionen und höhere Dimensionszahlen.

Die arithmetischen Fähigkeiten können mit der Dimension des Zahlensystems zunehmen, bis diese Dimension vier erreicht und nach dieser Grenze beginnen die arithmetischen Fähigkeiten zu sinken.

Auch den Weg zuruck ist möglich.

Hilberträume können nur mit Zahlensystemen fertig werden, die Divisionsringe sind. In einem Divisionsring besitzt jedes Nicht-Null-Mitglied eine einzigartige Inverse.

Bi-Quaternionen verwenden Komplex-zahl-basierte Koeffizienten, anstatt Reell-Zahl-basierte Koeffizienten. Die Bi-Quaternionen bilden keinen Divisionsring.

Natürliche Zahlen bilden das einfachste Zahlensystem. Die positiven Zahlen und die ganzen Zahlen sind Erweiterungen des natürlichen Zahlensystems.

Rationale Zahlen bestehen aus Gruppen von Fraktionen, die den gleichen Wert haben. Alle rationalen Zahlen können durch eine natürliche Zahl gekennzeichnet werden. Damit ist das rationale Zahlensystem zählbar.

Das reelle Zahlensystem fügt alle Limiten der konvergenten Reihen von rationalen Zahlen hinzu. Dieser Zusatz zerstört die Zählbarkeit des reellen Zahlensystems. Das reelllen Zahlensystem ist ein Kontinuum.

Das natürliche Zahlensystem, das positive Zahlensystem, das ganzzahlige Zahlensystem und das rationale Zahlensystem haben unendlich viele Elemente. Cantor stellte den Begriff der Kardinalität vor. Die Kardinalität wird durch natürliche Zahlen angegeben, aber die Kardinalität des vollen Satzes der natürlichen Zahlen wird durch Kardinalität $\aleph _{0}$ angezeigt .

Die Kardinalität der reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Quaternionen, die Oktonionen und die Sedionen sind gleich $\aleph _{1}$ . Auch gibt es noch höhere Kardinalitäten.

Das Hilbert-Buchmodell nennt Zahlensysteme, die seinem Basismodell dienen können, das auf einer Kombination aus einem unendlich dimensionalen, separablen Hilbertraum und seinem einzigartigen, nicht separablen Begleiter basiert, der seinen separablen Partner einbettet. Das Modell wählt den vielseitigsten Divisionsring aus. Das quaternionische Zahlensystem enthält reelle Zahlensysteme und komplexe Zahlensysteme als Teilmengen.

Versionen

Abhängig von ihrer Dimension existieren Zahlensysteme in vielen Versionen, die sich in ihrer Ordnungssymmetrie unterscheiden. Die Anwendung eines kartesischen Koordinatensystems, gefolgt von einem Polarkoordinatensystem, kann diese Ordnungssymmetrie erreichen. Das Hilbert-Buchmodell nutzt die Tatsache aus, dass ein quaternionischer Hilbertraum mehrere Versionen quaternionische Zahlensysteme beherbergen kann, die als Parameterräume dienen, die jeweils ihre private Sortiersymmetrie besitzen und ihres geometrisches Zentrum auf einem Hintergrundparameter platzieren können. Der Unterschied zwischen der Ordnungssymmetrie einer Floating-Plattform und der Ordnungssymmetrie des Hintergrundparameterraums bestimmt den Symmetrie-Aroma der Plattform .

Quaternion Arithmetik

Quaternionen existieren aus einem eindimensionalen Realteil und einem dreidimensionalen Imaginärteil, der durch einen rechnerisch geschätzten Skalar und einen dreidimensionalen Vektor dargestellt werden kann, der reelle Wertkoeffizienten hat. Auf diese Weise stellt das quaternionische Zahlensystem einen vierdimensionalen Vektorraum dar, der eine euklidische Struktur aufweist.

Hier stellen wir eine quaternion $q$ dar durch einen Realteil $q_{r}$ und einen räumlichen Vektorteil ${\vec {q}}$ , das dass Imaginärteil vorstellt.

q\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,q_{r}+{\vec {q}}

(1)

Das quaternionische Konjugat $q^{*}$ ist

q^{*}\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,q_{r}-{\vec {q}}

(2)

Summation ist kommutativ und assoziativ

a+b=b+a

(3)

(a+b)+c=a+(b+c)

(4)

Multiplikation folgt aus

a\,b=(a_{r}+{\vec {a}})(b_{r}+{\vec {b}})=a_{r}\,b_{r}-\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle +a_{r}\,{\vec {b}}+b_{r}\,{\vec {a}}\ {\color {Red}\pm }\ {\vec {a}}\times {\vec {b}}

(5)

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle$ ist das innere Vektorprodukt und ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ ist das externe Vektorprodukt.

${\color {Red}\pm }$ Zeigt an, dass in Abhängigkeit von der Ordnungssymmetrie das quaternionische Zahlensystem in Rechts- und Linkshändig vorhanden ist.

Eine rechtshändige Quaternion kann sich nicht mit einer Linkshändige Quaternion multiplizieren.

Die Norm $|q|$ gleicht

|q|={\sqrt {q\,q^{*}}}={\sqrt {q_{r}q_{r}+\langle {\vec {q}},{\vec {q}}\rangle }}

(7)

q^{-1}={\frac {q^{*}}{|q|^{2}}}

(8)

Fase

Die Fase $q_{\varphi }$ im Bogenmaß von Quaternion $q$ folgt aus

q=|q|\exp {\biggl (}q_{\varphi }\,{\frac {\vec {q}}{|{\vec {q}}|}}{\biggr )}

(9)

${\frac {\vec {q}}{|{\vec {q}}|}}$ ist die räumliche Richtung von $q$ .

Quaternionic rotation

In der Multiplikation werden Quaternionen nicht pendeln. Also, im Allgemeinen, $a\,b/a\neq b$ . In dieser Multiplikation wird der Imaginärteil von $b$ das senkrecht zum imaginären Teil von $a$ steht, über einen Winkel gedreht, der doppelt so hoch ist wie die komplexe Phase $\varphi$ von $a$ .

Quaternionische Drehung

Diese Grafik bedeutet, dass wenn $\varphi =\pi /4$ , dann schiebt die Drehung $a\,b/a$ das teil $b_{\perp }$ zu einer anderen Dimension. Diese Tatsache stellt Quaternionen dar, für die die Größe des Reelle Teil gleich der Größe des Imaginärteils ist in einer Sonderkategorie. Sie können Zustände von Tri-State-Systemen umschalten. Außerdem können sie die Farbladung von Quarks umschalten. Das bedeutet, dass sie sich in solchen Paaren wie Gluonen verhalten