Translations:

Hilbertruimten

Rond de overgang van de negentiende eeuw in de twintigste eeuw ontwikkelde David Hilbert en anderen een type vectorruimte die later de naam kreeg van Hilbertruimte.

De Hilbertruimte is een opmerkelijke vectorruimte omdat het voor elk paar van Hilbertvectoren een inwendig product definieert.

Voor de waarde van dat inwendig product kunnen alleen leden van een getallenstelsel gebruikt worden, waarin elk niet-nul-lid een unieke inverse bezit. Deze eis beperkt het getallenstelsel tot de categorie van de delingsringen.

Bra's and ket's

Paul Dirac introduceerde een handige formulering voor het inwendige product, dat gebruik maakt van bra’s en ket’s.

De bra $\langle f|$ is een covariante vector de ket $|g\rangle$ is een contra-variante vector. Het inwendig product fungeert als metriek.

Voor bra vectors geldt

\langle f|+\langle g|=\langle g|+\langle f|=\langle f+g|

(1)

(\langle f|+\langle g|)+\langle h|=\langle f|+(\langle g|+\langle h|)

(2)

Voor ket vectors geld

|f\rangle +|g\rangle =|g\rangle +|f\rangle =|f+g\rangle

(3)

(|f\rangle +|g\rangle )+|h\rangle =|f\rangle +(|g\rangle +|h\rangle )

(4)

inwendig product

Voor het inwendig product $s=\langle f|g\rangle$ geldt de eis dat $s$ een lid van een delingsring moet zijn.

\langle f|g\rangle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\langle g|f\rangle ^{*}

(5)

Voor quaternionen $\alpha$ en $\beta$ geldt

\langle \alpha f|g\rangle =\langle g|\alpha f\rangle ^{*}=(\langle g|f\rangle \alpha )^{*}=\alpha ^{*}\langle f|g\rangle

(6)

\langle f|\beta g\rangle =\langle f|g\rangle \beta

(7)

\langle (\alpha +\beta )f|g\rangle =\langle \alpha f|g\rangle +\langle \beta f|g\rangle =\langle f|g\rangle \alpha +\langle f|g\rangle \beta

(8)

Dus

\langle \alpha f|=\alpha ^{*}\langle f|

(9)

|\alpha g\rangle =|g\rangle \alpha

(10)

We hebben hier een keuze gemaakt. We zouden even goed kunnen definiëren dat $\langle \alpha f|=\alpha \langle f|$ and $|\alpha g\rangle =|g\rangle \alpha ^{*}$ .

Separabel

In de wiskunde wordt een topologische ruimte separabel genoemd wanneer deze een aftelbare dichte deelverzameling bevat; dit betekent dat er een reeks $\{|x_{i}\rangle \}_{\infty }^{i=0}$ van ruimte-elementen bestaat zodat elke open subset van de ruimte minstens één element of the reeks bevat.

De waarden op deze aftelbare dichte deelverzameling bepalen elke continue functie op de separable Hilbertruimte ${\mathfrak {H}}$ .

De Hilbertruimte ${\mathfrak {H}}$ is separabel. Dit betekent dat een aftelbare rij van elementen $\{|f_{n}\rangle \}$ bestaat die de hele ruimte opspannen.

Als $\langle f_{m}|f_{n}\rangle =\delta (m,n)$ = [1 wanneer $m=n$ ; anders 0] dan vormt $\{|f_{n}\rangle \}$ een orthonormale basis van de Hilbertruimte.

Een ket basis $\{|k\rangle \}$ van ${\mathfrak {H}}$ is een minimale verzameling van ket vectoren $|k\rangle$ die tezamen de Hilbertruimte ${\mathfrak {H}}$ opspannen.

Iedere ketvector $|f\rangle$ in ${\mathfrak {H}}$ kan geschreven worden als een lineaire combinatie van elementen van $\{|k\rangle \}$ .

|f\rangle =\sum _{k}|k\rangle \langle k|f\rangle

(11)

Een bra basis $\{\langle b|\}$ of ${\mathfrak {H}}^{\dagger }$ iis een minimale verzameling van bra vectoren $\langle b|$ die tezamen de Hilbertruimte ${\mathfrak {H}}^{\dagger }$ opspannen.

Iedere bravector $\langle f|$ in ${\mathfrak {H}}^{\dagger }$ kan geschreven worden als een lineaire combinatie van elementen van $\{\langle b|\}$ .

\langle f|=\sum _{b}\langle f|b\rangle \langle b|

(12)

Gebruikelijk, worden voor een basis de vectoren zo geselecteerd dat hun norm gelijk aan 1 is Een dergelijke basis wordt orthonormale basis genoemd.

Operatoren

Operatoren werken op een subset van de elementen van de Hilbertruimte.

Lineaire operatoren

Een operator $L$ is lineair als voor alle vectoren $|f\rangle$ en $|g\rangle$ waarvoor $L$ gedefinieerd is en voor alle quaternionen $\alpha$ en $\beta$ geldt

|L\alpha f\rangle +|L\beta g\rangle =|Lf\rangle \alpha +|Lg\rangle \beta =L(|\alpha f\rangle +|\beta g\rangle )=L(|f\rangle \alpha +|g\rangle \beta )

(13)

Operator $B$ is colinear als voor alle vectoren $|f\rangle$ waarvoor $B$ gedefinieerd is en voor alle quaternionen $\alpha$ er een quaternion $\gamma$ bestaat zodat

|\alpha \,B\,f\rangle =|\,B\,f\rangle \,\gamma \,\alpha \,\gamma ^{-1}\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,|B\,\gamma \,\alpha \,\gamma ^{-1}\,f\rangle

(14)

Als $|a\rangle$ een eigenvector van operator $A$ is met quaternionische eigenwaarde $\alpha$

A|a\rangle =|a\rangle \alpha

(15)

dan is $|\beta a\rangle$ is een eigenvector van $A$ met quaternionische eigenwaarde $\beta ^{-1}\alpha \beta$ .

A|\beta a\rangle =A|a\rangle \beta =|a\rangle \alpha \beta =|\beta a\rangle \beta ^{-1}\alpha \beta

(16)

$A^{\dagger }$ is de toegevoegde van de normale operator $A$ .

\langle f|Ag\rangle =\langle fA^{\dagger }|g\rangle =\langle g|A^{\dagger }f\rangle ^{*}

(17)

A^{\dagger \dagger }=A

(18)

(A+B)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }

(19)

(A\,B)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }

(20)

Als $A=A^{\dagger }$ , dan is $A$ een zelftoegevoegde operator.

| is een nil operator.

Een lineaire transformatie $L$ van Hilbertruimte ${\mathfrak {H}}$ verandert de waarde van het inwendig product met de getransformeerde vector.

s_{L}=\langle f|L\,g\rangle

(21)

Het effect van de transpose transformatie $L^{\dagger }$ wordt nu gegeven door

\langle f|L\,g\rangle =\langle L^{\dagger }f|g\rangle

(22)

Een lineaire operator is normal als $L^{\dagger }L$ bestaat en $L^{\dagger }L=L\ L^{\dagger }$ .

Voor een normale transformatie $N$ geldt

\langle Nf|N\,g\rangle =\langle N^{\dagger }Nf|g\rangle =\langle NN^{\dagger }f|g\rangle =\langle f|N^{\dagger }Ng\rangle =\langle f|NN^{\dagger }g\rangle

(23)

Dus

N=N_{r}+{\vec {N}}

(24)

N^{\dagger }=N_{r}-{\vec {N}}

(25)

N_{r}={\frac {N+N^{\dagger }}{2}}

(26)

{\vec {N}}={\frac {N-N^{\dagger }}{2}}

(27)

NN^{\dagger }=N^{\dagger }N=N_{r}N_{r}+\langle {\vec {N}},{\vec {N}}\rangle =|N|^{2}

(28)

$N_{r}$ is het Hermitische deel van $N$ .

${\vec {N}}$ is het anti-Hermitische deel vanf $N$ .

Voor twee normale operatoren $A$ en $B$ geldt

A\,B=A_{r}B_{r}-\langle {\vec {A}},{\vec {B}}\rangle +A_{r}{\vec {B}}+{\vec {A}}B_{r}\pm {\vec {A}}\times {\vec {B}}

(29)

Voor een unitaire transformatie $U$ geldt

\langle Uf|U\,g\rangle =\langle f|g\rangle

(30)

Afsluiting

De afsluiting van ${\mathfrak {H}}$ betekent dat convergente reeksen van vectoren convergeren naar een vector van de afsluiting van ${\mathfrak {H}}$ .

Operator constructie

$|f\rangle \langle g|$ is een lineaire operator. $|g\rangle \langle f|$ is zijn toegevoegde operator.

Voor de orthonormale basis $\{|q_{i}\rangle \}$ geldt

\langle q_{n}|q_{m}\rangle =\delta (n,m)

(31)

\langle g|{\color {Red}F}\,h\rangle =\sum _{i=1}^{N}\{\langle g{\color {Red}|q_{i}\rangle F(q_{i})\langle q_{i}|}h\rangle \}

(32)

Deze definitie maakt de verkorte versie

F\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q_{i}\rangle F(q_{i})\langle q_{i}|

(33)

Mogelijk.Het is evident dat

F^{\dagger }\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q_{i}\rangle F^{*}(q_{i})\langle q_{i}|

(34)

Voor referentie operator ${\mathfrak {R}}^{x}$ geldt

{\mathfrak {R}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q_{i}\rangle q_{i}\langle q_{i}|

(35)

Als $\{q_{i}^{x}\}$ uit alle rational waarden van een versie van het quaternionische getallenstelsel bestaat, dan vertegenwoordigt ${\mathfrak {R}}^{x}$ de parameterruimte van de (discrete) functie $F(q_{i}^{x})$ .

Het superscript $^{x}$ geeft de versie van het getallensysteem aan.

{\mathfrak {R}}^{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q_{i}^{x}\rangle q_{i}^{x}\langle q_{i}^{x}|

(36)

Weglating van het superscript $^{x}$ betekent dat de versie van het getallenstelsel gekozen is die met de achtergrondparameterruimte overeenkomt. Dat is het getallenstelsel dat ook voor de specificatie van het inwendig product gebruikt wordt.

We noemen de combinatie van vergelijkingen 32 en 33 de reverse bra-ket methode.

Niet-separable Hilbertruimte

Elke oneindig dimensionale separabele Hilbertruimte ${\mathfrak {H}}$ bezit een unieke nietn-separabele compagnon Hilbertruimte ${\mathcal {H}}$ . Dit wordt bereikt door de afsluiting van de eigenruimten van alle referentie-operatoren.

In deze procedure, verliest in veel situaties het begrip van de dimensie van deelruimten zijn gebruikelijke betekenis.

Gelfand triple en Rigged Hilbert space zijn andere namen voor de algemene niet separabele Hilbertruimte. .

In de niet-separabele Hilbertruimte, gaat de summatie voor de reverse bra-ket methode voot operatoren met een continuum eigenruimte over in een integratie.

\langle g|{\color {Red}F}\,h\rangle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\iiiint \ \{\langle g{\color {Red}|q\rangle F(q)\langle q|}h\rangle \}dVd\tau

(37)

Hier verdwijnen de subscripts van de vectoren van de niet meer aftelbare bases.

De corresponderende verkorte schrijfwijze voor operator $F$ is

F\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q\rangle F(q)\langle q|

(38)

Voor eigenvectoren $|q\rangle$ definieert de function $F(q)$ als

F(q)=\langle q|F\,q\rangle =\int \limits _{q'}\langle q|q'\rangle F(q')\langle q'|q\rangle dq'

(38a)

De referentie operator ${\mathcal {R}}$ die de achtergrondparamerruimte als eigenruimte levert volgt uit

\langle g|{\color {Red}{\mathcal {R}}}\,h\rangle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\iiiint \langle g{\color {Red}|q\rangle q\langle q|}h\rangle \,dV\,d\tau

(39)

met verkorte notatie

{\mathcal {R}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q\rangle q\langle q|

(40)

Drijvend platform

De niet-separabele Hilbertruimte kan dezelfde versies van het quaternionische getallenstelsel gebruiken om een reeks parameterruimten die eigenruimten zijn van overeenkomstige referentie operatoren te definieren als zijn separabele metgezel dat deed. Een van deze parameterruimten is bijzonder omdat het de versie van de quaternionischegetallenstelsel gebruikt dat voor de specificatie van het inwendige product van de Hilbertruimte dient. De bijbehorende eigenruimte levert de achtergrondparameterruimte van de Hilbertruimte. Alle andere referentie-operatoren leveren eigenruimten die over de achtergrondparameterruimte drijven en die beschikken over een eigen ordeningssymmetrie. Een Cartesiaans coördinatenstelsel in combinatie met een polair coördinatensysteem specificeert de ordeningssymmetrie. Het verschil tussen de ordeningssymmetrie van de parameterruimte met de ordeningssymmetrie van de achtergrondparameterruimte bepaalt het symmetrieboeket van de beschouwde parameterruimte. Het symmetrieboeket levert de symmetrie-gerelateerde lading die lokaliseert in het geometrische midden van de drijvende parameterruimte. Deze symmetrie-gerelateerde lading werkt samen met een symmetrie-gerelateerde veld.

De drijvende parameterruimten en hun symmetrie-gerelateerde ladingen behoren tot het meubilair van de separabele Hilbertruimte. Het inbedden van de separabele Hilbertruimte in de niet-separabele Hilbertruimte introduceert een interactie met het symmetrie-gerelateerde veld.

Scannende deelruimte

De eigenvectoren van de referentie-operator die de achtergrondparameterruimte definieert kan met behulp van een geselecteerde progressiewaarde die de reële delen van de eigenwaarden aangeeft gesplitst worden. De eigenvectoren die overeenkomen met de progressiewaarde omspannen een scannende deelruimte die een statische status quo vertegenwoordigt. Lagere waarden van het reële deel van de eigenwaarde definiëren het historische deel van de Hilbertruimte. Hogere waarden bepalen het toekomst deel van de Hilbertruimte. De scannende deelruimte ᙎ verandert het basismodel dat bestaat uit een separabele Hilbertruimte en de begeleidende niet-separabele Hilbertruimte in een dynamisch model.

De separabele Hilbertruimte ${\mathfrak {H}}$ en de niet-separabele metgezel Hilbertruimte ${\mathcal {H}}$ combineren in een basismodel ᙕ waarin ${\mathcal {H}}$ de ruimte ${\mathfrak {H}}$ omssluit via een inbeddingsproces dat in de scanrichting van deelruimte ᙎ plaatsvindt.

Progressie $\tau$ stapt met ᙎ in ${\mathfrak {H}}$ en vloeit in ${\mathcal {H}}$ .

Extra mechanismen breiden het basismodel ᙕ uit tot het volledige Hilbert Boek Model ᙢ. De extra mechanismen leveren de dynamische locaties van de objecten die rondhuppelen op de drijvende platforms.

Het samenvoegen van technologieën

De combinatie van beide Hilbertruimten ${\mathfrak {H}}$ en ${\mathcal {H}}$ samen met de reverse bra-ket methode voor het definiëren van operatoren via referentie operatoren en quaternionische functies creëert een sterk basismodel ᙕ dat quaternionische Hilbertruimte technologie samenvoegt met quaternionische functietheorie en indirect met quaternionische differentiaal en integraalrekening.

De combinatie maakt het mogelijk om aan te nemen dat de niet-deelbare Hilbertruimte ${\mathcal {H}}$ de separabele Hilbertruimte ${\mathfrak {H}}$ omsluit in een continu proces dat samen met het verloop van een scannende deelruimte die het tijdstip van de inbedding definieert functioneert.

Zolang een differentiatie of integratie leidt tot een voldoende continue functie, dan is deze functie kan helpen om een nieuwe gebruiker te definiëren. Dit biedt de mogelijkheid om de oplossingen van differentiële als integrale binnen het basismodel vertegenwoordigt ᙕ .

Tevens kunnen de resultaten van stochastische processen worden opgeslagen in de separabele Hilbertruimte ${\mathfrak {H}}$ . Als het resultaat een coherente en dichte locatie zwerm vormt, dan kan de bijbehorende locatiedichtheidsverdeling ingebed worden opgeslagen in een continuum in de niet-separabele Hilbertruimte ${\mathcal {H}}$ . Dit wordt toegepast in het Hilbert Boek Model ᙢ .

Sets, coherente zwermen, verdelingen en verankering continuüms

De operatoren in de separabele Hilbertruimte bezitten eigenruimten in de vorm van

Verzamelingen van verspreide eigenwaarden
Stochastische coherente zwermen van eigenwaarden
- Stochastische coherente zwermen van eigenwaarden kunnen beschouwd worden als te zijn gevormd door een stochastisch proces dat een karakteristieke functie bezit
- Stochastische coherente zwermen van eigenwaarden kunnen geordend zijn met betrekking tot hun tijdstempel en worden dan goed geordende samenhangende zwermen
Stochastische goed geordende coherente zwermen van eigenwaarden zijn gerangschikt met betrekking tot hun tijdstempel
- Stochastische goed geordende coherente zwermen van eigenwaarden kunnen ruimtelijk worden gerangschikt zijn en worden daardoor volledig geordende verdelingen van eigenwaarden
Geordende verdelingen van eigenwaarden
- Geordende verdelingen bezitten een locatiedichtheidsverdeling

Als een continuüm een geordende verdeling omsluit dan is dit continuum eigenruimte van een operator die door een functie wordt gedefinieerd. Deze functie is de convolutie van de locatiedichtheidsverdeling van de geordende verdeling met Green's functie van het continuüm.

Bijvoorbeeld een geordende verdeling die wordt gedefinieerd door een isotrope Gaussische functie leidt tot een inbeddend continuüm dat gedefinieerd wordt door de functie ${\frac {{\mathsf {ERF}}(r)}{r}}$ .

Fourier-transformaties

Fourier transformaties kan een spectrale analyse van een continuüm voeren. De quaternionische Fourier-transformatie bestaan in een links georiënteerd en rechts georiënteerde versie. Fourier-transformatie paren beschrijven hetzelfde continuüm.

Spectraalanalyse beperkt maar beter tot een enkele richting per geval.