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Hilberträume

Um die Wende des 19. Jahrhunderts bis in das zwanzigste Jahrhundert entwickelten David Hilbert und andere den Typ des Vektorraums, der später den Namen von Hilbert erhielt.

Der Hilbertraum ist ein bestimmter Vektorraum, weil er ein inneres Produkt für jedes Paar seiner Mitgliedsvektoren definiert.

Dieses innere Produkt kann Werte eines Zahlensystems annehmen, für das jedes Nicht-Null-Mitglied eine einzigartige Umkehrung besitzt. Diese Anforderung vermarktet das Zahlensystem als Divisionsring.

Bras und Kets

Paul Dirac führte eine handliche Formulierung für das innere Produkt ein, das einen bra und ein Ket anwendet.

Der Bra $\langle f|$ Ist ein kovarianter Vektor und der Ket $|g\rangle$ Ist ein kontravarianter Vektor. Das innere Produkt fungiert als Metrik.

Für Bra-Vektoren halten

\langle f|+\langle g|=\langle g|+\langle f|=\langle f+g|

(1)

(\langle f|+\langle g|)+\langle h|=\langle f|+(\langle g|+\langle h|)

(2)

Für Ket-Vektoren halten

|f\rangle +|g\rangle =|g\rangle +|f\rangle =|f+g\rangle

(3)

(|f\rangle +|g\rangle )+|h\rangle =|f\rangle +(|g\rangle +|h\rangle )

(4)

Inneres Produkt

Für das innere Produkt $s=\langle f|g\rangle$ hält das $s$ Mitglied eines Divisionsringes ist.

\langle f|g\rangle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\langle g|f\rangle ^{*}

(5)

Für quaternionische Zahlen $\alpha$ und $\beta$ halt

\langle \alpha f|g\rangle =\langle g|\alpha f\rangle ^{*}=(\langle g|f\rangle \alpha )^{*}=\alpha ^{*}\langle f|g\rangle

(6)

\langle f|\beta g\rangle =\langle f|g\rangle \beta

(7)

\langle (\alpha +\beta )f|g\rangle =\langle \alpha f|g\rangle +\langle \beta f|g\rangle =\langle f|g\rangle \alpha +\langle f|g\rangle \beta

(8)

So

\langle \alpha f|=\alpha ^{*}\langle f|

(9)

|\alpha g\rangle =|g\rangle \alpha

(10)

Wir haben eine Wahl getroffen . Wir könnten stattdessen definieren $\langle \alpha f|=\alpha \langle f|$ and $|\alpha g\rangle =|g\rangle \alpha ^{*}$ .

Separable

In der Mathematik wird ein topologischer Raum als separable bezeichnet, wenn er eine abzahlbare dichte Teilmenge enthält ; Das heißt, es existiert eine sequenz $\{|x_{i}\rangle \}_{\infty }^{i=0}$ von Elementen des Raumes, so dass jede nichtleere offene Teilmenge des Raumes mindestens ein Element der Sequenz enthält.

Seine Werte auf dieser abzählbaren dichten Teilmenge bestimmen jede stetige Funktion auf dem separablen Raum ${\mathfrak {H}}$ .

Der Hilbertraum ${\mathfrak {H}}$ is separable. Das bedeutet, dass eine abzählbare Reihe von Elementen $\{|f_{n}\rangle \}$ Existiert, die den ganzen Raum aufspannt.

Wenn $\langle f_{m}|f_{n}\rangle =\delta (m,n)$ = [1 für $m=n$ ; 0 sonnst] dann $\{|f_{n}\rangle \}$ bildet eine orthonormale Basis des Hilbertraumes.

Ein Ket-Base $\{|k\rangle \}$ of ${\mathfrak {H}}$ Ist ein minimaler Satz von Ket-Vektoren $|k\rangle$ dass zusammen den Hilbertraum ${\mathfrak {H}}$ aufspannen.

Jeder Ket-Vektor $|f\rangle$ im ${\mathfrak {H}}$ kann als eine lineare Kombination von Elementen von $\{|k\rangle \}$ geschrieben werden.

|f\rangle =\sum _{k}|k\rangle \langle k|f\rangle

(11)

Ein Bra Base $\{\langle b|\}$ of ${\mathfrak {H}}^{\dagger }$ Ist ein minimaler Satz von Bra-Vektoren $\langle b|$ dass zusammen den Hilbertraum ${\mathfrak {H}}^{\dagger }$ aufspannen.

Jeder Bra-Vektor $\langle f|$ im ${\mathfrak {H}}^{\dagger }$ kann als eine lineare Kombination von Elementen von $\{\langle b|\}$ geschrieben werden.

\langle f|=\sum _{b}\langle f|b\rangle \langle b|

(12)

Normalerweise wählt eine Basis Vektoren aus, so dass ihre Norm gleich 1 ist. Eine solche Basis wird als orthonormale Basis bezeichnet.

Operatoren

Operatoren wirken auf eine Teilmenge der Elemente des Hilbertraumes.

Linear operatoren

Ein operator $L$ ist linear wenn für alle Vektoren $|f\rangle$ und $|g\rangle$ für welche $L$ definiert ist und für alle quaternionischen Zahlen $\alpha$ und $\beta$

|L\alpha f\rangle +|L\beta g\rangle =|Lf\rangle \alpha +|Lg\rangle \beta =L(|\alpha f\rangle +|\beta g\rangle )=L(|f\rangle \alpha +|g\rangle \beta )

(13)

Operator $B$ ist colinear wenn für alle Vektore $|f\rangle$ für welche $B$ definiert ist und für alle quaternionischen Zahlen $\alpha$ es eine quaternionische Zahl $\gamma$ gibt so dass

|\alpha \,B\,f\rangle =|\,B\,f\rangle \,\gamma \,\alpha \,\gamma ^{-1}\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,|B\,\gamma \,\alpha \,\gamma ^{-1}\,f\rangle

(14)

Wenn $|a\rangle$ ein Eigenvektor des Operators $A$ ist mit quaternionischem Eigenwert $\alpha$

A|a\rangle =|a\rangle \alpha

(15)

dann ist $|\beta a\rangle$ ein Eigenvektor des Operators $A$ mit quaternionischem Eigenwert $\beta ^{-1}\alpha \beta$ .

A|\beta a\rangle =A|a\rangle \beta =|a\rangle \alpha \beta =|\beta a\rangle \beta ^{-1}\alpha \beta

(16)

$A^{\dagger }$ ist die adjungale des normalen operator $A$ .

\langle f|Ag\rangle =\langle fA^{\dagger }|g\rangle =\langle g|A^{\dagger }f\rangle ^{*}

(17)

A^{\dagger \dagger }=A

(18)

(A+B)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }

(19)

(A\,B)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }

(20)

Wenn $A=A^{\dagger }$ , dann ist $A$ ein selbst adjungierter Operator.

| ist ein nil operator.

Eine lineare Transformation $L$ von Hilbertraum ${\mathfrak {H}}$ ändert den Wert des inneren Produktes mit dem transformierten Vektor..

s_{L}=\langle f|L\,g\rangle

(21)

Die Wirkung der Transponenttransformation $L^{\dagger }$ wird dann gegeben durch

\langle f|L\,g\rangle =\langle L^{\dagger }f|g\rangle

(22)

Ein linearer Operator ist normal, wenn $L^{\dagger }L$ existiert und $L^{\dagger }L=L\ L^{\dagger }$ .

Für eine normale transformation $N$ holds

\langle Nf|N\,g\rangle =\langle N^{\dagger }Nf|g\rangle =\langle NN^{\dagger }f|g\rangle =\langle f|N^{\dagger }Ng\rangle =\langle f|NN^{\dagger }g\rangle

(23)

So

N=N_{r}+{\vec {N}}

(24)

N^{\dagger }=N_{r}-{\vec {N}}

(25)

N_{r}={\frac {N+N^{\dagger }}{2}}

(26)

{\vec {N}}={\frac {N-N^{\dagger }}{2}}

(27)

NN^{\dagger }=N^{\dagger }N=N_{r}N_{r}+\langle {\vec {N}},{\vec {N}}\rangle =|N|^{2}

(28)

$N_{r}$ ist der Hermitesche Teil von $N$ .

${\vec {N}}$ ist der anti-Hermitesche Teil von $N$ .

Für zwei normale Operatoren $A$ und $B$ halt

A\,B=A_{r}B_{r}-\langle {\vec {A}},{\vec {B}}\rangle +A_{r}{\vec {B}}+{\vec {A}}B_{r}\pm {\vec {A}}\times {\vec {B}}

(29)

Für eine unitare transformation $U$ gilt

\langle Uf|U\,g\rangle =\langle f|g\rangle

(30)

Schließung

Die Schließung von ${\mathfrak {H}}$ bedeutet, dass konvergierende Reihen von Vektoren zu einem Vektor von ${\mathfrak {H}}$ konvergieren

Operator Konstruktion

$|f\rangle \langle g|$ ist eine a lineare operator. $|g\rangle \langle f|$ ist seine adjungierte operator.

Für die Orthonormalbasis $\{|q_{i}\rangle \}$ halt

\langle q_{n}|q_{m}\rangle =\delta (n,m)

(31)

\langle g|{\color {Red}F}\,h\rangle =\sum _{i=1}^{N}\{\langle g{\color {Red}|q_{i}\rangle F(q_{i})\langle q_{i}|}h\rangle \}

(32)

Diese Definition ermöglicht die Abkürzung

F\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q_{i}\rangle F(q_{i})\langle q_{i}|

(33)

Es ist leicht zu beweisen, dass

F^{\dagger }\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q_{i}\rangle F^{*}(q_{i})\langle q_{i}|

(34)

Für der Referenz operator ${\mathfrak {R}}^{x}$ gilt

{\mathfrak {R}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q_{i}\rangle q_{i}\langle q_{i}|

(35)

Wenn $\{q_{i}^{x}\}$ besteht aus allen rationalen Werten einer Version des quaternionischen Zahlensystems (gekennzeichnet durch hochgestelltes $^{x}$ ) dann stellt ${\mathfrak {R}}^{x}$ den Parameterraum der (diskreten) Funktion $F(q_{i}^{x})$ dar.

{\mathfrak {R}}^{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q_{i}^{x}\rangle q_{i}^{x}\langle q_{i}^{x}|

(36)

Das Hochsymbol $^{x}$ auslassen bedeutet, dass wir Zahlen aus der Version des Zahlensystems nehmen, das der Spezifikation des inneren Produktes dient.

Wir nennen die Kombination von Gleichung 32 und Gleichung 33 die umgekehrte bra-ket Methode.

Nicht separablen Hilbertraum

Jeder unendlich dimensionale, separablen Hilbertraum ${\mathfrak {H}}$ Besitzt einen einzigartigen, nicht separablen Begleiter-Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ . Dies wird durch die Schließung der Eigenräume aller Referenzoperatoren erreicht. In dieser Prozedur verliert der Gedanke der Dimension der Unterräume bei vielen Gelegenheiten ihren Sinn.

Gelfand dreifach und Rigged Hilbertraum sind andere Namen für die allgemeinen nicht separablen Hilberträume.

Im nicht separablen Hilbertraum, wendet sich das Rückwärts-Bra-Ket-Verfahren für Operatoren mit Kontinuum-Eigenräumen, von einer Summation in eine Integration

\langle g|{\color {Red}F}\,h\rangle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\iiiint \ \{\langle g{\color {Red}|q\rangle F(q)\langle q|}h\rangle \}dVd\tau

(37)

Hier verschwanden die Indizes der abzählbaren Basis.

Die entsprechende Kurzschrift für den operator $F$ ist

F\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q\rangle F(q)\langle q|

(38)

Für Eigenvektoren $|q\rangle$ definiert sich die Function $F(q)$ als

F(q)=\langle q|F\,q\rangle =\int \limits _{q'}\langle q|q'\rangle F(q')\langle q'|q\rangle dq'

(38a)

Der Referenzoperator ${\mathcal {R}}$ der das Hintergrundparameterraum als dessen Eigenraum liefert, folgt aus

\langle g|{\color {Red}{\mathcal {R}}}\,h\rangle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\iiiint \langle g{\color {Red}|q\rangle q\langle q|}h\rangle \,dV\,d\tau

(39)

Mit Kurzschrift

{\mathcal {R}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ |q\rangle q\langle q|

(40)

Schwimmende Plattformen

Der nicht separablen Hilbertraum kann dieselben Versionen des quaternionischen Zahlensystems verwenden, um eine Reihe von Parameterräumen zu definieren, die Eigenspuren entsprechender Referenzoperatoren sind, da es sich um einen separablen Begleiter handelt. Einer dieser Parameterräume ist besonders, weil er die Version des quaternionischen Zahlensystems anwendet, das der Spezifikation des inneren Produktes der begleitenden Hilberträume dient. Der entsprechende Eigenraum liefert den Hintergrundparameterraum der Hilberträume. Alle anderen Referenzoperatoren liefern Eigenräume, die in Bezug auf den Hintergrundparameterraum schwimmen und eine private Bestellsymmetrie besitzen. Ein kartesisches Koordinatensystem in Kombination mit einem Polarkoordinatensystem spezifiziert die Ordnungssymmetrie. Der Unterschied zwischen der Ordnungssymmetrie des Parameterraums mit der Ordnungssymmetrie des Hintergrundparameterraums bestimmt den Symmetriearoma des betrachteten Parameterraums. Der Symmetrie-Geschmack liefert eine symmetriebezogene Ladung, die sich an der geometrischen Mitte des schwebenden Parameterraums befindet. Diese symmetriebezogene Ladung wechselt mit einem symmetriebezogenen Feld.

Die schwimmenden Parameterräume und ihre symmetriebezogenen Ladungen gehören zu den Möbeln des separablen Hilbertraumes. Die Einbettung des separablen Hilbertraumes in den nicht separablen Hilbertraum führt zu einer Wechselwirkung mit dem symmetriebezogenen Feld.

Scannendes Unterraum

Die Eigenvektoren des Referenzoperators, die den Hintergrundparameterraum definieren, können in Bezug auf einen ausgewählten Progressionswert aufgeteilt werden, der die reellen Teile der Eigenwerte spezifiziert. Die Eigenvektoren, die dem Progressionswert entsprechen, überspannen einen Scan-Unterraum, der einen statischen Status quo darstellt. Niedrigere Werte des Realteils des Eigenwerts definieren den historischen Teil des Hilbertraumes. Höhere Werte definieren den zukünftigen Teil des Hilbertraumes. Dieser Scan-Unterraum ᙎ verwandelt das Basismodell ᙕ, das aus einem separablen Hilbertraum und seinem nicht-separablen Hilbertraum besteht, zu einem dynamischen Modell ᙢ.

Der separablen Hilbertraum ${\mathfrak {H}}$ Und seine nicht-separablen Begleiter Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ kombinieren in ein Basismodell ᙕ, in dem ${\mathcal {H}}$ den raum ${\mathfrak {H}}$ einbettet über einen Einbettungsprozess, der im Scan-Unterraum ᙎ stattfindet

Progression $\tau$ schreitet mit ᙎ in ${\mathfrak {H}}$ und fließt in ${\mathcal {H}}$ .

Dieses Basismodell ᙕ muss sich mit zusätzlichen Mechanismen erweiteren , die die dynamischen Orte von Objekten angeben, die auf den schwimmenden Plattformen herumlaufen. Diese zusätzlichen Mechanismen bilden das wichtigste Thema des vollständigen Hilbert- Buchmodells ᙢ.

Merging Technologien

Die Kombination der beiden Hilberträume ${\mathfrak {H}}$ und ${\mathcal {H}}$ zusammen mit den reverse-bra-ket Verfahren für die Definition von Operatoren über Referenz Operatoren und quaternionicsche Funktionen schafft ein leistungsfähiges Basismodell ᙕ die quaternionische Hilbertraum Operator-technologie mit quaternionische Funktionstheorie und indirekt mit quaternionische Differential- und Integralrechnung kombiniert.

Die Kombination ermöglicht es, zu betrachten dass den nicht separablen Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ den separablen Hilbertraum ${\mathfrak {H}}$ einbettet mittels einem laufenden Prozess, der als Funktion des Fortschritts eines Scan-Unterraums wirkt, der den Zeitpunkt der Einbettung definiert.

Solange eine Differenzierung oder Integration zu einer hinreichend stetigen Funktion führt, kann diese Funktion dazu beitragen, einen neuen Operator zu definieren. Dies bietet die Möglichkeit, die Lösungen von Differential- und Integralgleichungen innerhalb des Basismodells ᙕ darzustellen.

Auch können die Ergebnisse stochastischer Prozesse im separablen Hilbertraum ${\mathfrak {H}}$ gespeichert werden und wenn das Ergebnis einen kohärenten und dichten Ortsschwarm bildet, so kann die entsprechende Ortsdichteverteilung in einem Kontinuum im nicht separablen Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ eingebettet werden. Dies wird im Hilbert-Buchmodell ᙢ angewendet.

Sets, kohärente Schwärme, Verteilungen und Einbetten von Kontinua

Die operatoren im separablen Hilbertraum bieten folgenden Eigenräume an

Sätze von verstreuten Eigenwerten
Stochastische kohärente Schwärme von Eigenwerten
- Stochastische kohärente Schwärme von Eigenwerten können von einem stochastischen Prozess, der eine charakteristische Funktion besitzt, erzeugt werden
- Stochastische kohärente Schwärme von Eigenwerten können in Bezug auf ihren Zeitstempel sortiert werden und werden dann gut geordnete kohärente Schwärme
Stochastisch gut geordnete kohärente Schwärme von Eigenwerten sind in Bezug auf ihren Zeitstempel geordnet
- Stochastische, gut geordnete, kohärente Schwärme von Eigenwerten können räumlich geordnet und dann geordnete Verteilungen von Eigenwerten werden
Geordnete Verteilungen von Eigenwerten
- Geordnete Verteilungen besitzen eine Standortdichteverteilung

Wenn ein Kontinuum eine geordnete Verteilung einbettet, dann ist die definierende Funktion des Operators, der das Kontinuum als Eigenraum hat, die Faltung der Ortsdichteverteilung der geordneten Verteilung mit der Green's-Funktion des Kontinuums.

Zum Beispiel führt eine geordnete Verteilung, die durch eine isotrope Gaußsche Funktion definiert ist, zu einem Einbettungs-Kontinuum, das durch eine ${\frac {{\mathsf {ERF}}(r)}{r}}$ Function definiert ist.