<Hilbert Book Model Project/nl
In een oneindig dimensionale Hilbertruimte, een Fourier-transformatie bewerkstelligt een volledige transformatie van een oude orthonormale basis naar een andere orthonormale basis , zodanig dat geen van de nieuwe basisvectoren geschreven kan worden als een lineaire combinatie die niet alle oude basisvectoren bevat
De basisvector is eigenvector is van een normale operator met eigenwaarden . Basis is orthonormaal.
Ook de basisvector is eigenvector is van een normale operator met eigenwaarden . Basis is ook orthonormaal.
Het inproduct is een functie van zowel de als de coördinaten
Vergeet niet dat de functie ten opzichte van een orthonormale basis met behulp van de corresponderende operator weergegeven kan worden als
Deze vergelijkingen beschrijven Fouriertransformatie paren en hetzelfde continuüm . Dat continuüm wordt zowel voorgesteld door als door en deze functies komen overeen met de operatoren en . Op deze wijze beschrijven en hetzelfde ding en dat is het continuüm .
Het inproduct is een functie die aan de volgende gevolgtrekkingen voldoet.
- Convolutie van functies in de oude basis representatie wordt vermenigvuldiging in de nieuwe basis representatie.
- Evenzo convolutie van functies in de nieuwe basis representatie wordt vermenigvuldiging in de oude basis representatie.
- Differentiatie in de oude basis representatie wordt vermenigvuldiging met de nieuwe coördinaat in de nieuwe basis representatie.
- Evenzo wordt differentiatie in de nieuwe basis representatie vermenigvuldiging met de oude coördinaat in de oude basis representatie.
Onthoudt dat
Fourier transformatie is goed bekend voor voor complexe functies. We zullen deze kennis toepassen door het opzetten van complexe parameter ruimten binnen de quaternionische achtergrondparameterruimte.
Als een axis as langs de genormaliseerde vector door de quaternionische achtergrondparameterruimte wordt getrokken, dan gelden
Hier speelt de rol van parameter langs richting en speelt de rol van parameter langs richting .
Vector kan in een willekeurige richting gekozen worden en kan op een willekeurige locatie in het quaternionische achtergrondparameterruimte aangrijpen,
Het inprodukt heeft betrekking op een twee-parametrische functie die in de richting van correspondeert met
Hier zijn en complexe functies met complex imaginaire basisgetal .
Meer in het algemeen moet de specificatie van de quaternionische Fourier transformatie omgaan met het niet-commuteren van de vermenigvuldiging van quaternionische functies.
We zien in de formules dat deze methode slechts een rotatie van parameterruimtes en functies tot stand brengt. In de op complexe getallen gebaseerd Hilbertruimte, zou het geen enkele verandering teweegbrengen. De Fourier transformatie installeert slechts een gedeeltelijke rotatie. Dit resulteert in een links en rechts georiënteerde Fourier-transformaties.
De links georiënteerde Fourier-transformatie heeft een inverse .
De links georiënteerde Fourier-transformatie wordt gedefinieerd door:
Voor twee leden en van een orthonormale basis geldt
Voor twee leden en van een orthonormale basis geldt
De omgekeerde transformatie wordt gegeven door
Hetzelfde geldt voor de rechts georiënteerde Fourier-transformatie
De toegevoegde waarde van de rechter en linker georiënteerde Fourier transformaties is laag. De op complex getallen gebaseerde Fourier-transformatie heeft voor de spectrale analyse van continuüms een veel grotere waarde. Dan moet de analyse wel tot één enkele richting per onderzoek beperkt worden,
Belangrijk is het feit dat de Fourier-transformatie-paren hetzelfde continuüm beschrijven .