<Hilbert Book Model Project/de
In einem unendlich dimensionalen Hilbert-Raum erreicht eine Fourier-Transformation eine vollständige Transformation einer alten orthonormalen Basis
zu einer anderen orthonormalen Basis
, so dass keiner der neuen Basenvektoren als eine lineare Kombination geschrieben werden kann, die nicht alle alten Basenvektoren enthält.
Der Basisvektor
ist Egenvektor eines normalen Operators
mit Eigenwerten
. Basis
ist orthonormal.
Ähnlich ist der Basisvektor
Eigenvektor eines normalen Operators
mit Eigenwerten
. Basis
ist orthonormal.
Das innere Produkt
Ist eine Funktion beider
und
Koordinaten.
Denken Sie daran, diese Funktion
kann in Bezug auf eine orthonormale Basis
und operator
dargestellt werden wie
Diese Gleichungen beschreiben Fourier-Transformationspaare
und das gleiche Kontinuum
. das Kontinuum
wird durch
dargestellt als auch von
und diese Funktionen entsprechen jeweils den Operatoren
und
. Damit
and
Beschreiben dasselbe, was das Kontinuum
ist.
Das innere Produkt
Ist eine Funktion, die die folgenden Folgerungen erfüllt.
- Faltung der Funktionen in der alten Basis
Darstellung wird Multiplikation in der neuen Basis
Darstellung.
- Ähnlich ist die Faltung der Funktionen in der neuen Basis
Darstellung wird Multiplikation in der alten Basis
Darstellung.
- Die Differenzierung in der alten Basisdarstellung wird durch die neue Koordinate in der neuen Basisdarstellung multipliziert.
- Ähnlich wird die Differenzierung in der neuen Basisdarstellung durch die alte Koordinate in der alten Basisdarstellung multipliziert
Erinnere dich daran
Die Fourier-Transformation ist für komplexe Funktionen gut etabliert. Wir werden dieses Wissen durch die Einrichtung komplexer Parameterräume innerhalb des quaternionischen Hintergrundparameterraums anwenden
Wenn ein
Achse entlang des normalisierten Vektors
durch den quaternionischen Hintergrundparameterraum gezeichnet wird gilt
Hier spielt
Spielt die Rolle des Parameters
entlang Richtung
und spielt
die Rolle des Parameters
entlang Richtung
. Vektor
Kann in einer beliebigen Richtung aufgenommen werden und kann an einer beliebigen Stelle im quaternionischen Hintergrundparameterraum beginnen.
Das innere Produkt
bezieht sich auf eine zwei parametrische Funktion, die entlang der Richtung
die Funktion
entspricht.
Hier sind
und
komplexe Funktionen mit komplexer imaginärer Basiszahl
.
Im Allgemeinen muss die Spezifikation des quaternionischen Fourier mit der nicht-kommutierende Multiplikation von quaternionischen Funktionen umgehen.
Wir sehen in den Formeln, dass diese Methode lediglich eine Rotation von Parameterräumen und Funktionen erreicht. In der komplexen Zahl basierte Hilbert Raum, würde es überhaupt keine Veränderung zu erreichen.
Die Fourier-Transformation installiert nur eine partielle Rotation. Dies führt zu links und rechts orientierten Fourier Transformationen.
Die linksorientierte Fourier-Transformation
Hat eine umgekehrte
.
Die linksorientierte Fourier Transformation ist definiert durch:
Für zwei Mitglieder
und
einer orthonormalen Basis
Hält
Für zwei Mitglieder
and
einer orthonormalen Basis
Hält
Die umgekehrte Transformation ist gegeben durch
Ähnlich für die rechtsorientierte Fourier-Transformation
Der zusätzliche Wert der rechtsorientierten und linksorientierten Fourier Transformationen ist gering. Die komplexe Zahl-basierte Fourier Transformation hat viel mehr Wert für die Spektralanalyse von Kontinuums. Doch diese Analysen beschränken sich dann pro Fall auf eine einzige Richtung ,
Wichtig ist die Tatsache, dass Fourier-Transformationspaare
beschreiben das gleiche Kontinuum
.