Hilbert Book Model Project/Quaternionic Field Equations/Fourier Transform/de

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Fourier Transformation[edit]

Fourier Räume[edit]

In einem unendlich dimensionalen Hilbert-Raum erreicht eine Fourier-Transformation eine vollständige Transformation einer alten orthonormalen Basis  zu einer anderen orthonormalen Basis , so dass keiner der neuen Basenvektoren als eine lineare Kombination geschrieben werden kann, die nicht alle alten Basenvektoren enthält.

Der Basisvektor ist Egenvektor eines normalen Operators mit Eigenwerten . Basis ist orthonormal.

Ähnlich ist der Basisvektor  Eigenvektor eines normalen Operators mit Eigenwerten . Basis ist orthonormal.

Das innere Produkt  Ist eine Funktion beider und Koordinaten.

Denken Sie daran, diese Funktion  kann in Bezug auf eine orthonormale Basis und operator dargestellt werden wie

Diese Gleichungen beschreiben Fourier-Transformationspaare  und das gleiche Kontinuum . das Kontinuum wird durch dargestellt als auch von und diese Funktionen entsprechen jeweils den Operatoren und . Damit and Beschreiben dasselbe, was das Kontinuum  ist.

Das innere Produkt  Ist eine Funktion, die die folgenden Folgerungen erfüllt.

  • Faltung der Funktionen in der alten Basis  Darstellung wird Multiplikation in der neuen Basis Darstellung.
  • Ähnlich ist die Faltung der Funktionen in der neuen Basis  Darstellung wird Multiplikation in der alten Basis Darstellung.
  • Die Differenzierung in der alten Basisdarstellung wird durch die neue Koordinate in der neuen Basisdarstellung multipliziert.
  • Ähnlich wird die Differenzierung in der neuen Basisdarstellung durch die alte Koordinate in der alten Basisdarstellung multipliziert
Innere Produkte[edit]

Erinnere dich daran

Komplexe Fourier-Transformation[edit]

Die Fourier-Transformation ist für komplexe Funktionen gut etabliert. Wir werden dieses Wissen durch die Einrichtung komplexer Parameterräume innerhalb des quaternionischen Hintergrundparameterraums anwenden

Wenn ein  Achse entlang des normalisierten Vektors  durch den quaternionischen Hintergrundparameterraum gezeichnet wird gilt

Hier spielt Spielt die Rolle des Parameters  entlang Richtung und spielt die Rolle des Parameters entlang Richtung . Vektor Kann in einer beliebigen Richtung aufgenommen werden und kann an einer beliebigen Stelle im quaternionischen Hintergrundparameterraum beginnen.

Das innere Produkt  bezieht sich auf eine zwei parametrische Funktion, die entlang der Richtung  die Funktion entspricht.

Hier sind und komplexe Funktionen mit komplexer imaginärer Basiszahl .

Quaternionische Fourier Transformation[edit]

Im Allgemeinen muss die Spezifikation des quaternionischen Fourier mit der nicht-kommutierende Multiplikation von quaternionischen Funktionen umgehen.

Wir sehen in den Formeln, dass diese Methode lediglich eine Rotation von Parameterräumen und Funktionen erreicht. In der komplexen Zahl basierte Hilbert Raum, würde es überhaupt keine Veränderung zu erreichen.

Die Fourier-Transformation installiert nur eine partielle Rotation. Dies führt zu links und rechts orientierten Fourier Transformationen.

Links orientierte Fourier Transformation[edit]

Die linksorientierte Fourier-Transformation Hat eine umgekehrte .

Die linksorientierte Fourier Transformation ist definiert durch:

Für zwei Mitglieder  und einer orthonormalen Basis  Hält

Für zwei Mitglieder and einer orthonormalen Basis Hält

Die umgekehrte Transformation ist gegeben durch

Rechts orientierte Fourier Transformation [edit]

Ähnlich für die rechtsorientierte Fourier-Transformation

Fazit[edit]

Der zusätzliche Wert der rechtsorientierten und linksorientierten Fourier Transformationen ist gering. Die komplexe Zahl-basierte Fourier Transformation hat viel mehr Wert für die Spektralanalyse von Kontinuums. Doch diese Analysen beschränken sich dann pro Fall auf eine einzige Richtung ,

Wichtig ist die Tatsache, dass Fourier-Transformationspaare  beschreiben das gleiche Kontinuum .