<Hilbert Book Model Project/nl
In een oneindig dimensionale Hilbertruimte, een Fourier-transformatie bewerkstelligt een volledige transformatie van een oude orthonormale basis
naar een andere orthonormale basis
, zodanig dat geen van de nieuwe basisvectoren geschreven kan worden als een lineaire combinatie die niet alle oude basisvectoren bevat
De basisvector
is eigenvector is van een normale operator
met eigenwaarden
. Basis
is orthonormaal.
Ook de basisvector
is eigenvector is van een normale operator
met eigenwaarden
. Basis
is ook orthonormaal.
Het inproduct
is een functie van zowel de
als de
coördinaten
Vergeet niet dat de functie
ten opzichte van een orthonormale basis
met behulp van de corresponderende operator
weergegeven kan worden als
Deze vergelijkingen beschrijven Fouriertransformatie paren
en hetzelfde continuüm
. Dat continuüm
wordt zowel voorgesteld door
als door
en deze functies komen overeen met de operatoren
en
. Op deze wijze beschrijven
en
hetzelfde ding en dat is het continuüm
.
Het inproduct
is een functie die aan de volgende gevolgtrekkingen voldoet.
- Convolutie van functies in de oude basis
representatie wordt vermenigvuldiging in de nieuwe basis
representatie.
- Evenzo convolutie van functies in de nieuwe basis
representatie wordt vermenigvuldiging in de oude basis
representatie.
- Differentiatie in de oude basis representatie wordt vermenigvuldiging met de nieuwe coördinaat in de nieuwe basis representatie.
- Evenzo wordt differentiatie in de nieuwe basis representatie vermenigvuldiging met de oude coördinaat in de oude basis representatie.
Onthoudt dat
Fourier transformatie is goed bekend voor voor complexe functies. We zullen deze kennis toepassen door het opzetten van complexe parameter ruimten binnen de quaternionische achtergrondparameterruimte.
Als een
axis as langs de genormaliseerde vector
door de quaternionische achtergrondparameterruimte wordt getrokken, dan gelden
Hier speelt
de rol van parameter
langs richting
en speelt
de rol van parameter
langs richting
.
Vector
kan in een willekeurige richting gekozen worden en kan op een willekeurige locatie in het quaternionische achtergrondparameterruimte aangrijpen,
Het inprodukt
heeft betrekking op een twee-parametrische functie die in de richting van
correspondeert met
Hier zijn
en
complexe functies met complex imaginaire basisgetal
.
Meer in het algemeen moet de specificatie van de quaternionische Fourier transformatie omgaan met het niet-commuteren van de vermenigvuldiging van quaternionische functies.
We zien in de formules dat deze methode slechts een rotatie van parameterruimtes en functies tot stand brengt. In de op complexe getallen gebaseerd Hilbertruimte, zou het geen enkele verandering teweegbrengen. De Fourier transformatie installeert slechts een gedeeltelijke rotatie. Dit resulteert in een links en rechts georiënteerde Fourier-transformaties.
De links georiënteerde Fourier-transformatie
heeft een inverse
.
De links georiënteerde Fourier-transformatie wordt gedefinieerd door:
Voor twee leden
en
van een orthonormale basis
geldt
Voor twee leden
en
van een orthonormale basis
geldt
De omgekeerde transformatie wordt gegeven door
Hetzelfde geldt voor de rechts georiënteerde Fourier-transformatie
De toegevoegde waarde van de rechter en linker georiënteerde Fourier transformaties is laag. De op complex getallen gebaseerde Fourier-transformatie heeft voor de spectrale analyse van continuüms een veel grotere waarde. Dan moet de analyse wel tot één enkele richting per onderzoek beperkt worden,
Belangrijk is het feit dat de Fourier-transformatie-paren
hetzelfde continuüm
beschrijven .