PlanetPhysics/Long March Across Galois Theory

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A. Grothendieck's Long March across the Theory of (\'Evariste) Galois

"La Longue Marche \'a travers la th\'eorie de Galois" ("The Long March Through Galois Theory") is an approximately 1600--page handwritten manuscript produced by Grothendieck during the years 1980--1981, containing many of the ideas leading to the "Esquisse d'un Programme".

``Typed in Tex, it comes out to about 600 pages. It goes together with a further 1,000 pages or so of additional notes and sections which have not yet been read or typed. Many of the major themes were summarised in the 1983 manuscript "Esquisse d'un Programme", and in particular studying the Teichm\"uller theory.

The Table of Contents for this important work by Alexander Grothendieck was originally compiled in French by the author and is reproduced here after the English Translation of the major parts of the Long March.

Table of Contents for the Long March across Galois Theory

1. Multi-Galois Toposes (topoi)
2. Applications to topos coverings
3. Pro-multi-Galois variants
4. Complements
5. Introducing the arithmetic context; an `anabelian' (non-Abelian) fundamental conjecture
6. Local analysis of $(X,S)$ for $s\in S$
7. Reformulation of the conjecture (the necessary `purgatorium'...)
8. A taxonomic reflexion
9. Tangential structure at $s\in S$ (sections of second type extensions)
10. Adjusting the hypotheses
11. Conditions on the groupoid systems originating from geometric considerations (in the nonabelian case, the groupoid system can be expressed

in terms of outer groups)

1. Returning to the arithmetic case: the Galois--type formulation, p. 53
2. A cohomological digression, p.58
3. Returning to the topological case: critical orbits
4. Returning to the concept of cyclic group
5. Application to the finite subgroups of $Aut_{ext}$ (the discrete case, para.18)
6. Tour of Teichm\"uller (spaces)
7. Digression: the description of 2-isotopic categories of algebraic curves p.116
8. 21. Teichm\"uller spaces p.126
9. 23. Returning to the surfaces of (finite) groups of operators (`formulating the equations' of the problem)
10. "Special" Teichm\"uller groups #The case of "two groups of operators"
11. {\mathbf 26.} Profinite Teichm\"uller Groups, connection with the modular Teichm\"uller topos, conjecture
12. 29. Critique of the previous approach
13. 31. Digression: a finite group $G$ over a profinite cyclic group $\pi$
14. {\mathbf 32} Returning to the arithmetic aspects: a remarkable reconstruction of all of the \'etale topos of a complete algebraic curve starting from an open nonabelian space...
15. 33. A topological digression: anti-involutions of compact, oriented surfaces
16. 35. Injectivity of

$\Gamma _{Q}\to Autext_{lac}({\mathcal {T}}_{1,1}^{+})=Autext_{lac}SL(2,{\mathcal {Z}}^{)}$

1. 36. The isomorphism $\Gamma _{Q}\cong \Gamma _{1,1}$ and the injectivity

of $\Gamma _{Q}\to Autext_{lac}({\mathcal {T}}_{1,1}^{+})=Autext_{lac}SL(2,{\mathcal {Z}}^{)}$

1. 37. Modules of elliptic curves via Legendre functions, or

$M_{1,1}[2]'\cong {\mathcal {U}}_{0,3}\cong M_{0,4}^{!}.$

Alexander Grothendieck's original document in French:

• 1. Topos multigaloisiens
• 2. Application aux $rev{\widehat {e}}tements$ des topos
• 3. Variantes pro-multigaloisiennes
• 4. Compl\'ements, remords
• 5. Introduction du contexte arithm\'etique; conjecture anab\'elienne fondamentale
• 6. Analyse locale de $(X,S)$ en un $s\in S$
• 7. Reformulation `bord\'elique' de la conjecture (le purgatoire n\'ecessaire...)
• 8. R\'eflexion taxonomique (distinction des cas o\'u le purgatoire s\'am\'enage un peu...)
• 9. Structure tangentielle en les $s\in S$ (sections d'extensions "de deuxi\'eme type")
• 10. Ajustement des hypoth\'eses (remords)
• 11. Conditions sur les syst\'emes de groupo\"ides obtenus \'a partir de situations g\'eom\'etriques (o\'u on se convaincu aussi que le bordel groupo\"idal peut s\'exprimer compl\'etement, dans les cas anab\'eliens, par les groupes ext\'erieurs \'a lacets)
• 13. Retour au cas arithm\'etique; formulation `galoisienne' . 53
• 13 bis. Retour sur la notion de groupe 'a lacets . . 56
• 14. Digression cohomologique (sur le "`bouchage de rous") .. 58
• 15. Retour sur le cas topologique: orbites critiques des scindages d'extensions; application aux sous--groupes finis de $Autext_{lac}$ (cas discret; cf. aussi para.18)
• 16. Bouchage et forage de trous: pr\'eliminaires topologiques g\'en\'eraux . . . . 79
• 17. Compl\'ement au para. 15; sous--groupes de groupes \'a lacets . . . . . . . . 89
• 18. Forage de trous; applications aux sous--groupes finis de Autextlac() . . . 91 (cas discret)
• 19. Tour de Teichm\"uller . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
• 20. Digression: description 2--isotopique de la cat\'egorie des isomorphismes topologiques
• 21. Les espaces de Teichm\"uller . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Manque le para 22.
• 22 [notation en marge]
• 23. Retour sur les surfaces \'a groupes (finis)d’op\'erateurs ("mise en \'equations" du probl\'eme)
• 24. Essai de d\'etermination de $A^{0\Gamma }$; lien avec les relations $\pi _{(g,\nu ,\nu +n-1)}^{\Gamma }={1}$ programme de travail
• 25. Groupes de Teichm\"uller "sp\'eciaux" . . . . . . . . . . . . . 148
• 25bis. "Cas des deux groupes" d'op\'erateurs; retour sur les notations . . . . 155
• 26. Groupes de Teichm\"uller profinis, discr\'etifications et pr\'ediscr\'etifications; lien avec le topos modulaire de Teichm\"uller, conjecture $h{\widehat {a}}tive$
• 27. Changement de type $(g,\nu ):a)$ bouchage de trous . 172
• 28. Changement de type $(g,\nu ):b)$ passage \'a un $rev{\widehat {e}}tements$ fini (la conjecture $h{\widehat {a}}tive$ grince...)
• 29. Critique de l'approche pr\'ec\'edente . . . . 186 (on rajuste les notions et les conjectures)
• 30. Propri\'et\'es des ${\mathcal {N}}_{g},\Gamma _{g,\nu }$ : . . . . . . . 192 a) Propri\'et'es li\'ees aux sous-groupes finis de Teichm\"uller
• 31. Digression sur les rel\'evements d'une action ext\'erieure . . . . . . . . 198 d'un groupe fini $G$ sur un groupe profini \'a lacets
• 32. Retour sur les aspects arithm\'etiques du bouchage de trous: relations entre $\Gamma _{g,\nu }$ et $\Gamma _{g,\nu -1}$ (o\'u on reconstitue, sans le dire, tout le topos \'etale d'une courbe alg\'ebrique compl\'ete, \'a partir du $\pi _{1}$ d'un ouvert anab\'elien...)
• 33. Digression topologique: anti--involutions des surfaces orient\'ees compactes . 221 (en laissant de $c{\widehat {o}}t$\'e d'abord le cas "a trous")
• 33 bis. Relation entre les ${\mathcal {N}}_{g,\nu },\Gamma _{g,\nu }$, pour g variable .239 (\'etude des $rev{\widehat {e}}tements$ finis)
• 34. Description heuristique profinie de la cat\'egorie des courbes alg\'ebriques d\'efinies sur des sous--extensions finies $K$ de $Q_{0}/Q$
• 35. L'injectivit\'e de $\Gamma _{Q}\to Autext_{lac}({\widehat {\pi }}(0,3)$. 249
• 36. L'isomorphisme $\Gamma _{Q}\cong \Gamma _{1,1}$. et l'injectivit\'e de $\Gamma _{Q}\to Autext_{lac}({\mathcal {T}}_{1,1}^{+})=Autext_{lac}SL(2,{\mathcal {Z}}^{)}$
• 37. Modules des courbes elliptiques via Legendre, ou $M_{1,1}[2]'\cong {\mathcal {U}}_{0,3}\cong M_{0,4}^{!}.$