Hilbert Book Model Project/Relational Structures/nl

<Hilbert Book Model Project/nl

Relationele structuren

Relationele structuren zijn sets die de types van hun interne relaties te beperken.

In de wiskunde geldt "tralie", als de soortnaam van een categorie van relationele structuren.

Een tralie is een stel elementen  $a,b,c,....$ dat gesloten is voor de verbindingen $\cap$ en $\cup$.

Deze verbindingen voldoen aan

• De verzameling is $\subset$ half gegeordend.
  • Dit betekent dat bij elk paar elementen $a,b$ een element $c$ behoort, zodat $a\subset c$ en $b\subset c$.
• De verzameling is een $\cap$ halftralie.
• Dit betekent dat bij elk paar elementen $a,b$ een element $c$ bestaat, zodat $c=a\cap b$.
• De verzameling is een $\cup$ halftralie.
  • Dit betekent dat bij elk paar elementen $a,b$ een element $c$ bestaat, zodat $c=a\cup b$.
• De verzameling is een tralie.
  • Dit betekent dat de verzameling zowel een $\cap$ halftralie als een $\cup$ halftralie is..

In een tralie geldt

$a\cap b=b\cap a$

(1)

$(a\cap b)\cap c=a\cap (b\cap c)$

(2)

$a\cap (a\cup b)=a$

(3)

$a\cup b=b\cup a$

(4)

$(a\cup b)\cup c=a\cup (b\cup c)$

(5)

$a\cup (a\cap b)=a$

(6)

Het tralie heeft een partiële inclusie $\subset$:

$a\subset b\Leftrightarrow a\cap b=a$

(7)

Een complementair tralie bevat twee elementen $n$ en $e$ en met elk element $a$ een complementair element $a^{'}$ zodat:

$a\cap a^{'}=n$

(8)

$a\cap n=n$

(9)

$a\cap e=a$

(10)

$a\cup a^{'}=e$

(11)

$a\cup e=e$

(12)

$a\cup n=a$

(13)

Een orthocomplementair tralie bevat twee elementen $n$ en $e$ en met elk element $a$ een element $a^{''}$ zodat:

$a\cup a^{''}=e$

(14)

$a\cap a^{''}=n$

(15)

$(a^{''})^{''}=a$

(16)

$a\subset b\Leftrightarrow b^{''}\subset a^{''}$

(17)

$e$ is het eenheidselement; $n$ ishet null-element van het tralie

een distributief tralie ondersteunt de distributieve wetten:

$a\cap (b\cup c)=(a\cap b)\cup (a\cap c)$

(18)

$a\cup (b\cap c)=(a\cup b)\cap (a\cup c)$

(19)

Een modulair tralie ondersteunt:

$(a\cap b)\cup (a\cap c)=a\cap (b\cup (a\cap c))$

(20)

Een zwak modulair tralie ondersteunt in plaats daarvan:

Er bestaat een element $d$ zodat

$a\subset c\Leftrightarrow (a\cup b)\cap c=a\cup (b\cap c)\cup (d\cap c)$

(21)

waarbij $d$ voldoet aan:

$(a\cup b)\cap d=d$

(22)

$a\cap d=n$

(23)

$b\cap d=n$

(24)

$(a\subset g)$ and $(b\subset g)\Leftrightarrow d\subset g$

(25)

In een atomair traliegeldt

$\exists _{(p\epsilon S)}\forall _{(x\in L)}\{x\subset p\Rightarrow x=n\}$

(26)

$\forall _{(a\in L)}\forall _{(x\in L)}\{(a<x<a\cap p)\Rightarrow (x=a$ or $x=a\cap p)\}$

(27)

p is een atoom

Bekende tralies

Klassieke logica heeft de structuur van een orthocomplementair distributief modulair and atomair tralie .

Kwantum logica heeft de structuur van een orthocomplementair zwak modulair and atomair tralie. Het wordt ook orthomodulair tralie genoemd.

Het orthomodulair tralie vindt zijn realisatie in verzameling van de gesloten deelruimten van een separable Hilbertruimte. De traliestructuur van deze verzameling is tralie-isomorph met een orthomodulair tralie.

De verzameling van de stralen die worden opgespannen door de leden van een orthonormale basis van de Hilbertruimte vormen een volledige verzameling van atomen van het orthomodulaire tralie.

Het modulair configuratie tralie

De verzameling van de gesloten deelruimten van een separable Hilbertruimte is een orthomodulair tralie. Deze verzameling bevat een deelverzameling, welke een deeltralie is en alle vertegenwoordigers van modulen en modulaire systemen als zijn elementen bevat.

De atomen van dit deeltralie vertegenwoordigen elementaire modules. Om deze reden noemen we het deeltralie een modulair configuratie tralie.

Alle modules bezitten een privé mechanisme dat de op elk tijdstip de locaties produceert die het module gebruikt. Het mechanisme gebruikt een stochastisch process en dit process bezit een karakteristieke functie.

Deze karakteristieke functie is de superpositie van de karakteristieke functies van de processen die de posities leveren van de elementaire modules die het module samenstellen.

In de Hilbertruimte vertegenwoordigen sommige van de stralen die de scannende deelruimte opspannen, elementaire modules. Deze stralen staan onderling orthogonaal. Op elk tijdstip krijgen de elementaire modules een nieuwe locatie.

In het scheppersaanblik kunnen de elementaire modules in de progressierichting zigzaggen.