Translations:

Oplossingen

De namen warp en clamp staan voor onderwerpen die al jaren bekend zijn maar nog geen naam hadden

Hier beschouwen we de oplossingen van de homogene quaternionische tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen.

Twee interessante quaternionische tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen bestaan.

\nabla ^{*}\varphi =\nabla ^{*}\nabla \psi =\nabla \nabla ^{*}\psi =(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})(\varphi _{r}+{\vec {\varphi }})=(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})(\psi _{r}+{\vec {\psi }})=(\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi =0

(1)

De inhomogene vergelijking kan worden gesplitst in twee eerste orde partiële golfvergelijking $\chi =\nabla ^{*}\varphi$ en $\varphi =\nabla \psi$ .

This equation does not offer waves as part of the solutions of the homogeneous equation.

(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi =0

(2)

Deze vergelijking heeft geen golven te bieden als onderdeel van de oplossingen van de homogene vergelijking.

Dit is het equivalent van de quaternionische golfvergelijking. Het biedt golven kader van de oplossingen van de homogene vergelijking.

Golven

Alleen de golfvergelijking biedt oplossingen in de vorm van golven.

\nabla _{r}\nabla _{r}\psi =\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \psi =\omega \,\psi \Rightarrow f=\exp(2\pi i\omega x\tau )

(3)

Periodieke harmonische aandrijvingen veroorzaakt het verschijnen van de golven,

Schokfronten

In oneven aantal deelnemende afmetingen, bieden beide homogene tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen schokfronten als onderdeel van de set oplossingen.

Ze bestaan uit een achtergebleven deel en een geavanceerde deel. Enkel-schottriggers veroorzaken de schokfronten.

Warps

Voor enkelvoudige eendimensionale triggers, biedt de golfvergelijking $D\,\psi =0$ oplossingen in de vorm

f(c\tau +x)+g(c\tau -x)

(4)

Voor zulke triggers, biedt vergelijking $\boxdot \,\psi =0$ oplossingen in de vorm

f(c\tau +x{\vec {i}})+g(c\tau -x{\vec {i}})

(5)

Warps zijn eendimensionale schokfronten.

Warps vertonen grote overeenkomst met solitonen. Solitons worden meestal als golfpakketten beschouwd. Golfpakketten dispergieren als zij bewegen. Warps doen dat niet.

Clampen

Voor enkelvoudige isotrope driedimensionale triggers, biedt de golfvergelijking $D\,\psi =0$ oplossingen in de vorm

f(c\tau +r)/r+g(c\tau -r/r

(6)

Voor dergelijke triggers, levert vergelijking $\boxdot \,\psi =0$ oplossingen in de vorm

f(c\tau +r{\vec {i}})/r+g(c\tau -r{\vec {i}})/r

(7)

Clampen zijn sferische schokfronten

Na integratie over een voldoende lange periode, resulteren de clampen in de Green's functie van het dragende veld onder sferische omstandigheden.

Plops

Tweedimensionale single shot triggers veroorzaken oplossingen van de tweede orde partiële differentiaalvergelijking die we plops noemen.

De vorm lijkt op de responsie die ontstaat wanner een steentje verticaal in een vijver geworpen wordt.

Golven, warps, en clampen

In tegenstelling tot golven en clampen, kunnen warps grote afstanden door een nagenoeg vlak dragerveld afleggen.

Golven

Oplossingen van de golfvergelijking zijn sinds eeuwen bekend. Van deze oplossingen zijn golven de bekendste. Golven vereisen een periodieke harmonische aandrijving.

De homogene tweede orde partiële differentiaal vergelijking die de d'Alembert operator geeft, aanvaardt golven als oplossingen. Voor deze oplossingen kan de vergelijking omgezet worden in de

Helmholtz vergelijking.

\nabla _{r}\nabla _{r}\psi =\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi

(8)

De Helmholtz vergelijking beschouwt het veld scheidbaar

\psi (q_{r},{\vec {q}})=A({\vec {q}})T(q_{r})

(9)

{\frac {\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \,A}{A}}={\frac {\nabla _{r}\nabla _{r}\,T}{T}}=-k^{2}

(10)

\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \,A=-k^{2}A

(11)

\nabla _{r}\nabla _{r}\,T=-k^{2}T

(12)

Drie-dimensionale isotrope sferische omstandigheden leveren oplossingen in de vorm

A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr)\right)Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi })

(13)

Hier zijn ${\textstyle j_{\ell }}$ en ${\textstyle y_{\ell }}$ de spherische Bessel functies, en zijn ${\textstyle Y_{\ell }^{m}}$ de sferische harmonischen. Deze oplossingen spelen een rol in de spectra van atomaire modules.

Schokfronten

Voor oneven aantal deelnemende dimensies van een eenmalige actuator leveren de tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen schokfronten. Warps en clampen vormen een categorie van de uiterst kleine objecten die niet als afzonderlijke objecten waargenomen kunnen worden . Om die reden zijn deze oplossingen in de vergetelheid geraakt.

In tegenstelling tot de golven, zijn deze schokfronten niet voorzien van een frequentie.

Warps

Warps kunnen enorme afstanden afleggen door een vlak continuüm dat als drager fungeert. Tijdens de reis, houden warps hun vorm en hun amplitude. Elke warp draagt een standaard bitje energie. In werkelijkheid, treden warps op gelijke afstand op in ketens. Op die manier, bezit de keten een frequentie. Om een foton te emuleren, moet de warpketen de Einstein-Planck relatie $E=h\nu$ gehoorzamen.

Deze beperking betekent dat alle warpketens dezelfde ruimtelijke lengte en dezelfde emissieduur moeten vertonen.

In fotonen lijkt de vektor ${\vec {i}}$ in oplossing $f(c\tau +r{\vec {i}})/r$ van vergelijking $\boxdot \,f=0$ te roteren als functie van de sequentie index in de warpketen.

Clampen

Isotrope enkelschots triggers veroorzaken clampen. Clampen zijn volatiel. Tijdens de reis daalt hun amplitude als ${\frac {1}{r}}$ met de afstand $r$ van de triggerplaats. De clamp integreert tot de Green's functie van het veld. Daardoor vervormt de clamp tijdelijk zijn drager. Bijgevolg draagt elke clamp een standaard bitje massa.

De vervorming vermindert snel. Dichte zwermen clampen die bij herhaling geregenereerd worden kunnen een blijvende vervorming van het inbeddende veld produceren.

Elementaire deeltjes zijn puntvormige elementaire modules die rondhuppelen in een stochastisch huppelpad. De hup landingslocaties vormen een samenhangende zwerm. Een locatiedichtheidsverdeling beschrijft de zwerm.

Elke hop landing triggert een clamp, die integreert in de Green's functie van het inbeddende veld. Dit resulteert in een blijvende vervorming van het veld die gelijk is aan de convolutie van de Green's functie en de locatiedichtheidsverdeling van de zwerm. Dus de massa van de elementaire deeltjes is evenredig met het aantal elementen van de hop landingszwerm.