Hilbert Book Model Project/Multi-mix Path Algorithm/de

<Hilbert Book Model Project/de

Multi-mix Pfad Algorithmus

Zweck 

In dieser primären Untersuchung ignorieren wir die Handlungen des symmetriebezogenen Feldes. Diese Handlungen sind weit weniger gewalttätig als die direkten Ergebnisse der Einbettung einzelner Standorte von Elementarmodulen.

Der Name " Multi-Mix-Algorithmus " steht für eine Alternative des Algorithmus, der als " Pfadintegral " bekannt ist.

Für den Multi-Mix-Pfad-Algorithmus ist der Name "Pfadintegral" in der Tat eine falsche Bezeichnung. Der Algorithmus betrifft eine Folge von Multiplikationen, die durch eine Summe der Terme angegangen werden können.

Da während der Regeneration des betrachteten Objekts die Verschiebung des Objektes ziemlich stabil ist, wird ein Teil der Multiplikationsfaktoren auf die Einheit reduziert. Die anderen Faktoren sind der Einheit nahe.

Das Ergebnis ist, dass die Sequenz auf eine Folge von Hinzufügungen von vielen kleinen Beiträgen reduziert wird. Diese Beiträge sind die Aktionen des einzelnen Hops eines Elementarmoduls.

Elementarmodule befinden sich auf einem individuellen Symmetriezentrum. Dies ist eine schwimmende Plattform, die einen privaten Parameterraum besitzt. Ein eigener Mechanismus erzeugt wiederholt die Landeplätze der Hopfen des Elementarmoduls auf stochastische Weise. Das eingebettete Objekt hüpft entlang der Elemente des erzeugten Hopfenlandungsortschwarms. Ein Kontinuum bettet die Hopf-Landeplätze ein. Der Pfad des Symmetriezentrums ist der gemittelte Pfad des eingebetteten Objekts. Der Mechanismus wendet einen stochastischen Prozess an, der eine charakteristische Funktion besitzt. Die charakteristische Funktion implementiert einen Verschiebungsgenerator. Folglich bewegt sich der Schwarm in erster Näherung als eine zusammenhängende Einheit.

Diese Fourier-Transformation ermöglicht die Beschreibung des Pfades des Schwarms durch einen "Multi-Mix-Algorithmus". Eine Folge von Faktoren, die nach der Multiplikation den ganzen Pfad darstellen, beschreibt das Hüpfen des eingebetteten Objekts. Jeder Faktor repräsentiert drei Subfaktoren. Die Prozedur, die dem Multi-Mix-Algorithmus zugrunde liegt, hängt davon ab, dass eine Summation die Multiplikation von Faktoren ersetzen kann, die alle sehr nahe an der Einheit sind.

1. Der erste Subfaktor repräsentiert den Sprung vom Konfigurationsraum zum Impulsraum. Das innere Produkt des Hilbert-Vektors, das den aktuellen Standort repräsentiert, und der Hilbert-Vektor, der den Schwung des Schwarms darstellt, liefert diesen Subfaktor. Der Algorithmus geht davon aus, dass während der aktuellen Regeneration des Standortschwarms der Impuls konstant ist.
2. Der zweite Subfaktor repräsentiert die Wirkung des Hopfens im Impulsraum.
3. Der dritte Subfaktor repräsentiert den Rücksprung vom Impulsraum zum Konfigurationsraum.

Die Prozedur läuft über den kompletten Sprungpfad. In der Folge von Faktoren kompensiert der dritte Subfaktor des aktuellen Termes die Wirkung des ersten Subfaktors des nächsten Termes. Ihr Produkt entspricht der Einheit.

Welche Ergebnisse sind eine Folge von Faktoren, die der Einheit sehr nahe stehen und die Effekte des Hops im Impulsraum darstellen. Da der Impuls als konstant betrachtet wird, können die Logarithmen der Begriffe genommen und zu einer Gesamtsumme addiert werden. Auf diese Weise ist die Multiplikation gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

Im Einzelnen beschreibt das Verfahren wie folgt.

Wir nehmen an, dass während des Teilchenerzeugungszyklus, in dem der Kontrollmechanismus den Schwarm $\{a_{i}\}$ erzeugt , Der momentum ${\vec {p}}_{n}$ Ist konstant

Jeder Hop gibt einen Beitrag zum Pfad. Diese Beiträge können in drei Schritte pro Beitrag Hop geteilt werden:

1. Wechseln Sie zu Fourier Raum. Diese Handlung beinhaltet als Subfaktor das innere Produkt $\langle {\vec {a}}_{i},{\vec {p}}_{n}\rangle$.

2. Entwickeln Sie während eines unendlichen Fortschritts in die Zukunft.

a. Multiplizieren mit dem entsprechenden Weggenerator ${\vec {p}}_{n}$.

b. Der erzeugte Schritt im Konfigurationsraum ist $({\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i})$.

c. Der Aktionsbeitragsfaktor im Fourierraum ist $\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle$.

3. Rückkehr zum Konfigurationsraum. Diese Handlung beinhaltet als Subfaktor das innere Produkt $\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}\rangle$.

Der kombinierte Begriff trägt einen Faktor bei

$\langle {\vec {a}}_{i},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle )\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}\rangle$

(1)

Zwei nachfolgende Schritte geben an:

$\langle {\vec {a}}_{i},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle ){\color {Red}\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}\rangle \langle {\vec {a}}_{i+1},{\vec {p}}_{n}\rangle }\exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+2}-{\vec {a}}_{i+1}\rangle )\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+2}\rangle$

(2)

$=\langle {\vec {a}}_{i},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle )\exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+2}-{\vec {a}}_{i+1}\rangle )\langle {\vec {p}},{\vec {a}}_{i+2}\rangle$

Die ${\color {Red}rote}$ Terme in der Mitte reduzieren zur Einheit. Die anderen Terme kombinieren auch.

Über einen vollen Partikelerzeugungszyklus mit $N$ Schritte ergeben sich daraus:

$\prod _{i=1}^{N}\langle {\vec {a}}_{i},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle )\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}\rangle$

(3)

$\qquad =\langle {\vec {a}}_{1},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{N}-{\vec {a}}_{1}\rangle )\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{N}\rangle$

$\qquad =\langle {\vec {a}}_{1},{\vec {p}}_{n}\rangle \exp(\int L\,d\tau )\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{N}\rangle$

$\int L\,d\tau \approx \sum _{i=2}^{N}\langle {\vec {p}}_{n},{\vec {a}}_{i+1}-{\vec {a}}_{i}\rangle$

(4)

$L=\langle {\vec {p}}_{n},{\dot {\vec {q}}}\rangle$

(5)

Hier, ist $L$ bekannt als die Lagrange Funktion.

Gleichung (4) gilt für die besondere Bedingung, in der ${\vec {p}}_{n}$ konstant ist. Wenn ${\vec {p}}_{n}$ nicht konstant ist, dann variiert der Hamilton-Operator $H$ mit dem Standort.

In den nächsten Gleichungen ignorieren wir den Index $_{n}$.

${\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}$

(6)

${\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}$

(7)

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i}$

(8)

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}$

(9)

${\frac {\partial H}{\partial \tau }}=-{\frac {\partial L}{\partial \tau }}$

(10)

${\frac {d}{\partial \tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$

(11)

$H+L=\sum _{i=1}^{3}{\dot {q}}_{i}p_{i}$

(12)

In diesen Gleichungen haben wir die echte Zeit $\tau$ benutzt anstatt die Koordinaatzeit $t$.

Die Wirkung des Sprungpfades ist, dass sich die geometrische Mitte des Symmetriezentrums über einen sich daraus ergebenden kleinen Abstand ${\vec {a}}_{n}-{\vec {a}}_{1}$ bewegt . Zusammen mit "charge" $(N\,Q_{n})$ bestimmt dieser Schritt die nächste Wert von ${\vec {p}}_{n}$.

Das Ergebnis ist, dass sowohl die Symmetrie verwandten Felder ${\mathfrak {A}}^{x}$und das Einbettungsfeld ${\mathfrak {C}}$ die Lage des geometrischen Zentrums des Symmetriezentrums ${\mathfrak {S}}_{n}^{x}$ beeinflussen .

In dieser Untersuchung ignorierten wir den Einfluss des symmetriebezogenen Feldes ${\mathfrak {A}}$. Dieses Feld beeinflusst die Dynamik ${\vec {p}}_{n}$ Und den entsprechenden Eigenvektor $|p\rangle$.

Das bedeutet, dass das Produkt der rot gefärbten mittleren Begriffe nicht mehr gleich 1 ist. Stattdessen unterscheidet sich das Produkt leicht von 1 und der Effekt kann in den Pfadintegral aufgenommen werden. Auf diese Weise wird jedem nachfolgenden Term in der Summation ein kleiner, langsam variierender Zusatzbeitrag hinzugefügt. Dieser zusätzliche Beitrag ist eine kontinue Funktion der Progression und damit ist es eine continue Funktion des Index des Faktors.

Das Ergebnis des "Multi-Mix-Algorithmus" ist zu erwarten. Der "Schritt" des Schwarms entspricht der Summe der Hüpfsprünge. Der "Multi-Mix-Algorithmus" wird eingeführt, um die Ähnlichkeit mit dem "Pfadintegral" zu zeigen. Das "Pfadintegral" wird über alle möglichen Pfade genommen. Der Multi-Mix-Algorithmus nimmt nur den eigentlichen Sprungpfad. Der Introduction des Pfadintegrals geht gewöhnlich aus von dem Lagrange Formalismus. Hier haben wir den "Multi-Mix-Algorithmus" aus dem Hüpf-Pfad gestartet und der "Multi-Mix-Algorithmus" führt zum Lagrange Funktion.