Hilbert Book Model Project/Dirac Equation/de

<Hilbert Book Model Project/de

Die Dirac-Gleichung

In ihrer ursprünglichen Form ist die Dirac-Gleichung eine komplexe Gleichung, die Spinoren, Matrizen und partielle Ableitungen verwendet.

Dirac suchte nach einer Spaltung der Klein-Gordon-Gleichung in zwei Differentialgleichungen erster Ordnung.

${\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {t}^{2}}}-{\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {x}^{2}}}-{\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {y}^{2}}}-{\frac {\partial {}^{2}f}{\partial {z}^{2}}}=-m^{2}f$

(1)

$(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )f=\Box f=-m^{2}f$

(2)

Hier ist $\Box$ die d’Alembert Operator.

Dirac benutzte eine Kombination von Matrizen und Spinoren, um dieses Ergebnis zu erreichen. Er wandte die Pauli-Matrizen an, um das Verhalten von Vektorfunktionen unter Differenzierung zu simulieren.

Die Einheitsmatrix $I$ und die Pauli Matrizen Sind gegeben durch:

$I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$; $\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$; $\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\end{bmatrix}}$; $\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$; $\mathbb {I} ={\sqrt {-1}}$

(3)

Für eine der potentiellen Ordnungen des quaternionischen Zahlensystems beziehen die Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix $I$ sich auf die quaternionischen Basisvektoren $1,{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$.

$I\mapsto 1,\quad \sigma _{1}\mapsto \mathbb {I} {\vec {i}},\quad \sigma _{1}\mapsto \mathbb {I} {\vec {j}},\quad \sigma _{1}\mapsto \mathbb {I} {\vec {k}}$

(3)

$\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{2}\sigma _{1}=2\mathbb {I} \sigma _{3};\quad \sigma _{2}\sigma _{3}-\sigma _{3}\sigma _{2}=2\mathbb {I} \sigma _{1};\quad \sigma _{3}\sigma _{1}-\sigma _{1}\sigma _{3}=2\mathbb {I} \sigma _{2}$

(4)

$\sigma _{1}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{3}=I$

(5)

Statt der üblichen $\left\{{\frac {\partial {}}{\partial {\tau }}},{\vec {i}}{\frac {\partial {}}{\partial {x}}},{\vec {j}}{\frac {\partial {}}{\partial {y}}},{\vec {k}}{\frac {\partial {}}{\partial {z}}}\right\}$ Wollen wir die Operatoren $\nabla =\{\nabla _{r},{\vec {\nabla }}\}$ benutzen.

Der Index $_{r}$ zeigt den Skalarteil an. Der Operator $\nabla$ bezieht sich auf den angewandten Parameterraum. Dies bedeutet, dass der Parameterraum auch aus Kombinationen $q=\{q_{r},{\vec {q}}\}$ von eines Skalars $q_{r}$ und einen Vektor ${\vec {q}}$ konfiguriert ist . Auch die Funktionen $f=\{f_{r},{\vec {f}}\}$ können in skalaren Funktionen $f_{r}$ und Vektorfunktionen ${\vec {f}}$ aufgeteilt werden.

Die unterschiedlichen Sortiermöglichkeiten des quaternionischen Zahlensystems entsprechen verschiedenen Symmetrie-Aromen. Die Hälfte dieser Möglichkeiten bietet ein rechtshändiges externes Vektorprodukt. Die andere Hälfte bietet ein linkshändiges externes Vektorprodukt an.

Die Pauli-Matrizen implementieren das Cross-Produkt-Verhalten dreidimensionaler Vektoren. Eine 4X4 dimensionale Matrix kann die Wahl zwischen rechtshändigem und linkshändigem Vektorprodukt implementieren.

Wir werden den Impulsoperator verwenden, um den Nabla-Operator zu repräsentieren:

$p_{\mu }=-\mathbb {I} \,{\frac {\partial }{\partial {q_{\mu }}}}$

(6)

$p_{\mu }\,\sigma _{\mu }=-\,e_{\mu }{\frac {\partial }{\partial {q_{\mu }}}}$

(7)

$\langle {\vec {\sigma }},{\vec {p}}\rangle \Leftrightarrow \mathbb {I} {\vec {\nabla }}$

(8)

$(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})=\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle =\boxdot$

(9)

$(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})=\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle =\Box$

(10)

Diese beiden Gleichungen verbergen die Tatsache, dass das Kreuzprodukt richtig oder linkshändig sein kann.

$\phi =(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\psi$

(11)

$\zeta =(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\phi$

(12)

$\zeta =(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\psi =(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )\psi =\Box \psi$

(13)

Das entspricht also der Klein-Gordon-Gleichung wenn

$\zeta =\Box \psi =-m^{2}\psi$

(14)

Wir können diese in zwei partielle Differentialgleichungen erster Ordnung aufteilen.

$D_{+}\,f_{A}=(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{A}=m\,\mathbb {I} \,f_{B}$

(15)

$D_{-}\,f_{B}=(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=m\,\mathbb {I} \,f_{A}$

(16)

$\Box \,f_{A}=D_{-}D_{+}\,f_{A}=(\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )f_{A}=(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{A}=m\,\mathbb {I} \,(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=-m^{2}\,f_{A}$

(17)

Ähnlich

$\Box \,f_{B}=D_{+}D_{-}\,f_{B}=(\nabla _{r}\nabla _{r}-\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle )f_{B}=(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=m\,\mathbb {I} \,(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})f_{B}=-m^{2}\,f_{B}$

(18)

Diracs Ansatz

Die ursprüngliche Dirac-Gleichung verwendet 4x4 Matrizen ${\vec {\alpha }}$ und $\beta$.

${\vec {\alpha }}$  und $\beta$ sind Matrizen, die das quaternionische arithmetische Verhalten implementieren, einschließlich der möglichen Symmetrie-Aromen von quaternionischen Zahlensystemen und Kontinuums.

$\alpha _{\mu }={\begin{bmatrix}0&\sigma _{\mu }\\\sigma _{\mu }&0\end{bmatrix}}$

(19)

$\beta ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

(20)

$\beta \beta =1$

(21)

Die Interpretation der Pauli-Matrizen als Darstellung einer besonderen Art von Drehimpuls hat zu dem halb-integer-Eigenwert des entsprechenden Spinoperators geführt.

Die Auswahl von Dirac führt zu 

$(p_{r}-\langle {\vec {\alpha }},{\vec {p}}\rangle -\beta mc){\begin{bmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\\\varphi _{4}\end{bmatrix}}=0$

(22)

$[\varphi ]$ ist ein Vier-Komponenten-Spinor.

Diese Gleichung teilt sich nicht in zwei partielle Differentialgleichungen erster Ordnung auf. Mit gamma Matrizen wird das geheilt.

$\quad \gamma _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}};\quad \gamma _{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1}\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix}};\quad \gamma _{2}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0\end{bmatrix}};\quad \gamma _{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}$

(23)

$\gamma _{\mu }=\beta \,\alpha _{\mu };\quad \gamma _{0}=\beta ;\quad \gamma _{5}=\mathbb {I} \,\gamma _{0}\,\gamma _{1}\,\gamma _{2}\,\gamma _{3}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

(24)

${\biggl (}\gamma _{5}{\frac {\partial }{\partial {\tau }}}-\gamma _{1}{\frac {\partial }{\partial {x}}}-\gamma _{2}{\frac {\partial }{\partial {y}}}-\gamma _{3}{\frac {\partial }{\partial {z}}}-{\frac {m}{\mathbb {I} \hbar }}{\biggr )}[\varphi ]=0$

(25)

${\biggl (}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {\tau }}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma _{1}\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {x}}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {y}}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}{\frac {\partial }{\partial {z}}}-{\frac {m}{\mathbb {I} \hbar }}{\biggr )}{\begin{bmatrix}\varphi _{A}\\\varphi _{B}\end{bmatrix}}=0$

(26)

Diesmal ist $[\varphi ]$ ein zweikomponentiger Spinor. Die Gleichung teilt sich in 

$D_{+}\,\varphi _{A}=(\nabla _{r}+\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\varphi _{A}=m\,\mathbb {I} \,\varphi _{B}$

(27)

$D_{-}\,\varphi _{B}=(\nabla _{r}-\mathbb {I} {\vec {\nabla }})\varphi _{B}=m\,\mathbb {I} \,\varphi _{A}$

(28)

Die Spinoren ${\textstyle \varphi _{A}}$ und ${\textstyle \varphi _{B}}$ sind keine quaternionischen Felder. Stattdessen sind sie Kombinationen von Feldern, die unterschiedliche Symmetrie zeigen. Die Felder unterscheiden sich in der Weise, dass sie die Richtung der Progression behandeln.

Die Spinoren ${\textstyle \varphi _{1}}$, ${\textstyle \varphi _{2}}$, ${\textstyle \varphi _{3}}$,und ${\textstyle \varphi _{4}}$ unterscheiden sich auch in der rechten oder linkshändigen Behandlung des Kreuzproduktes. Auf diese Weise bilden sie vier verschiedene Kombinationen von Behandlung von Fortschritt und die Handlichkeit des Kreuzprodukts.

Die Symmetrie-Aromen der Parameterräume kombinieren 16 verschiedene Symmetrie-Aromen. Diese Unterschiede decken die vier Unterschiede der Spinoren ab. Die Spinoren können keine Anisotropie repräsentieren.

Interpretation

Nach der konventionellen Physik teilt der Split die Klein-Gordon-Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die Elektronen- und eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die Positronen ein. Diese Gleichungen sind jedoch keine quaternionischen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.

Stattdessen teilt die Gleichung

$\zeta =\nabla ^{*}\nabla \psi =\nabla \nabla ^{*}\psi =(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})\psi =\nabla _{r}\nabla _{r}+\langle {\vec {\nabla }},{\vec {\nabla }}\rangle \psi ={\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {t}^{2}}}+{\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {x}^{2}}}+{\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {y}^{2}}}+{\frac {\partial {}^{2}\psi }{\partial {z}^{2}}}=\boxdot \,\psi$

(29)

sich in zwei quaternionische partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.

$\phi =\nabla \psi =(\nabla _{r}+{\vec {\nabla }})\psi$

(30)

$\zeta =\nabla ^{*}\psi =(\nabla _{r}-{\vec {\nabla }})\phi =\nabla ^{*}\nabla \psi =\boxdot \psi$

(31)

In der konventionellen Physik hat diese Gleichung noch keine richtige Interpretation gefunden.