Linear and noble Boolean functions
| Studies of Boolean functions |
| arity | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| linear | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | |
| noble | 2 | 4 | 16 | 256 | 65536 |
Among the truth tables for a given arity, the linears and the nobles are important subsets.
Each linear can be assigned a patron, which is noble. Each noble can be assigned a prefect, which is linear.
For arity 3 they form a bijection. For higher arities the nobles outnumber the linears (i.e. the patrons of the linears are a subset of the nobles).
overview
[edit | edit source]| 2-ary | |
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linears (truth tables and Zhegalkin indices) |
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| 3-ary | |
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linears (truth tables and Zhegalkin indices) |
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| 4-ary | ||||||
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3-ary
[edit | edit source]| nobles in tesseract | ||
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| quadrants | |
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| halves | |
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 Walsh functions |
 complements of Walsh functions |
| all | |
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4-ary
[edit | edit source]linear to patron (noble)
[edit | edit source]There are 32 linears, which form 10 factions. (Even and odd faction for each Walsh weight 0...4.) Their patrons are 32 nobles, which also form 10 factions (among the 44 noble factions).
Their juniors are the 3-ary Boolean functions with consul 0. (This is not the case for arities 2 and 3, but probably for all arities ≥ 4.)
| list | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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The faction is determined by Walsh weight and parity (or quadrant), and represented by variants of the quadrant colors.
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| details for each faction | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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The numbers next to the images correspond to the truth tables.
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| 3-ary noble indices (juniors) | ||||
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The following images show that pairs of complementary factions are in the same principality.
| quadrants 0 and 3 | ||||||||||||||||||||
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The patrons of the 8 even Walsh functions (quadrant 0) are the red entries in these 3 principalities.
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| quadrants 1 and 2 | ||||||||||||||||
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The patrons of the 8 odious Walsh functions (quadrant 2) are the yellow entries in these 2 principalities.
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noble to prefect (linear)
[edit | edit source]There are 256 nobles. A prefect is one of the 32 linears. Every linear is the prefect of 8 nobles.
| list (32 × 8 matrix) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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This table is an extension of the one shown above (from linear to patron). The leftmost noble column is equal to that of patrons. The nobles are represented by the integer values of their truth tables, which are also their Zhegalkin indices. The background colors of the nobles denote the noble quadrants.
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| 3-ary subprefects (16 × 16 matrices) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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The right side of the following table shows the same information as the table above. The left side of the table shows the prefects of all 3-ary Boolean functions. (And the great prefects as sort keys.)
A more detailed version of this table can be seen here. |
