# Inversions in sequences

This page shows the 44 = 256 sequences of length 4 with possible entries from 0...3. These are the integers 0...255 in base 4.

It shows their place-based and element based inversion sets, and all four possible vectors related to them.
l and r are the left and right inversion counts, and v is the inversion vector. The fourth possible vector is unused, but added as u for completeness' sake.

While inversion sets and the related vectors uniquely define permutations, this is not true for sequences in general.

The place-based inversion sets are the same as those of permutations.
There are 35 sequences with the inversion set of permutation ${\displaystyle {\mathit {0}}}$, while that of ${\displaystyle {\mathit {23}}}$ is unique.
The inversion sets of the permutations ${\displaystyle {\mathit {1}}}$, ${\displaystyle {\mathit {2}}}$, ${\displaystyle {\mathit {3}}}$, ${\displaystyle {\mathit {4}}}$, ${\displaystyle {\mathit {6}}}$, ${\displaystyle {\mathit {8}}}$, ${\displaystyle {\mathit {9}}}$, ${\displaystyle {\mathit {12}}}$, ${\displaystyle {\mathit {13}}}$, ${\displaystyle {\mathit {16}}}$ and ${\displaystyle {\mathit {18}}}$ appear 15 times each, while those of ${\displaystyle {\mathit {5}}}$, ${\displaystyle {\mathit {7}}}$, ${\displaystyle {\mathit {10}}}$, ${\displaystyle {\mathit {11}}}$, ${\displaystyle {\mathit {14}}}$, ${\displaystyle {\mathit {15}}}$, ${\displaystyle {\mathit {17}}}$, ${\displaystyle {\mathit {19}}}$, ${\displaystyle {\mathit {20}}}$, ${\displaystyle {\mathit {21}}}$ and ${\displaystyle {\mathit {22}}}$ appear 5 times each.

The element-based inversion sets are multisets, as different pairs of places can have the same pair of elements.
There are 103 different multisets, corresponding to 40 different inversion vectors v.
So there are 40 − 24 = 16 inversion vectors that permutations can not have — e.g. (4, 0, 0, 0), (0, 3, 0, 0) and (0, 0, 2, 0).

## List

All sequences
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
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30
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32
33
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35
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37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
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54
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56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
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86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
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122
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130
131
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139
140
141
142
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144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
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179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
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218
219
220
221
222
223
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228
229
230
231
232
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235
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238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
S # # l p-b r u e-b v
0

0000 0000 0 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
1

0001 1000 1 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
2

0002 2000 2 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
3

0003 3000 3 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
4

0010 0100 1 1 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001
5

0011 1100 2 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
6

0012 2100 3 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
7

0013 3100 4 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
8

0020 0200 2 1 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100 0100 0010 . 1. ... ... .1 . 1000 0001
9

0021 1200 3 1 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010
10

0022 2200 4 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
11

0023 3200 5 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
12

0030 0300 3 1 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100 1000 0001 . .. 1.. ..1 .. . 1000 0001
13

0031 1300 4 1 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100 1000 0001 . .. .1. .1. .. . 0100 0010
14

0032 2300 5 1 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100
15

0033 3300 6 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
16

0100 0010 1 2 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020 0020 0200 2 .. ... ... .. 2 2000 0002
17

0101 1010 2 1 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001
18

0102 2010 3 1 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001
19

0103 3010 4 1 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001
20

0110 0110 2 2 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110 0020 0200 2 .. ... ... .. 2 2000 0002
21

0111 1110 3 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
22

0112 2110 4 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
23

0113 3110 5 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
24

0120 0210 3 2 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110 0110 0110 1 1. ... ... .1 1 2000 0002
25

0121 1210 4 1 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010
26

0122 2210 5 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
27

0123 3210 6 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
28

0130 0310 4 2 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110 1010 0101 1 .. 1.. ..1 .. 1 2000 0002
29

0131 1310 5 1 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100 1000 0001 . .. .1. .1. .. . 0100 0010
30

0132 2310 6 1 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100
31

0133 3310 7 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
32

0200 0020 2 2 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020 0200 0020 . 2. ... ... .2 . 2000 0002
33

0201 1020 3 2 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020 0200 0020 . 11 ... ... 11 . 1100 0011
34

0202 2020 4 1 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010 0100 0010 . 1. ... ... .1 . 1000 0001
35

0203 3020 5 1 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010 0100 0010 . 1. ... ... .1 . 1000 0001
36

0210 0120 3 3 2100 0012 . .1 .11 11. 1. . 0210 0120 0210 0120 1 11 ... ... 11 1 2100 0012
37

0211 1120 4 2 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020 0200 0020 . .2 ... ... 2. . 0200 0020
38

0212 2120 5 1 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010
39

0213 3120 6 1 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010
40

0220 0220 4 2 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110 0200 0020 . 2. ... ... .2 . 2000 0002
41

0221 1220 5 2 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110 0200 0020 . .2 ... ... 2. . 0200 0020
42

0222 2220 6 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
43

0223 3220 7 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
44

0230 0320 5 2 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110 1100 0011 . 1. 1.. ..1 .1 . 2000 0002
45

0231 1320 6 2 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020
46

0232 2320 7 1 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100
47

0233 3320 8 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
48

0300 0030 3 2 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020 2000 0002 . .. 2.. ..2 .. . 2000 0002
49

0301 1030 4 2 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020 2000 0002 . .. 11. .11 .. . 1100 0011
50

0302 2030 5 2 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020 2000 0002 . .. 1.1 1.1 .. . 1010 0101
51

0303 3030 6 1 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010 1000 0001 . .. 1.. ..1 .. . 1000 0001
52

0310 0130 4 3 2100 0012 . .1 .11 11. 1. . 0210 0120 2010 0102 1 .. 11. .11 .. 1 2100 0012
53

0311 1130 5 2 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020 2000 0002 . .. .2. .2. .. . 0200 0020
54

0312 2130 6 2 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110
55

0313 3130 7 1 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010 1000 0001 . .. .1. .1. .. . 0100 0010
56

0320 0230 5 3 2100 0012 . .1 .11 11. 1. . 0210 0120 2100 0012 . 1. 1.1 1.1 .1 . 2010 0102
57

0321 1230 6 3 2100 0012 . .1 .11 11. 1. . 0210 0120 2100 0012 . .1 .11 11. 1. . 0210 0120
58

0322 2230 7 2 1100 0011 . .1 .1. .1. 1. . 0200 0020 2000 0002 . .. ..2 2.. .. . 0020 0200
59

0323 3230 8 1 0100 0010 . .1 ... ... 1. . 0100 0010 1000 0001 . .. ..1 1.. .. . 0010 0100
60

0330 0330 6 2 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110 2000 0002 . .. 2.. ..2 .. . 2000 0002
61

0331 1330 7 2 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110 2000 0002 . .. .2. .2. .. . 0200 0020
62

0332 2330 8 2 2000 0002 . .. .11 11. .. . 0110 0110 2000 0002 . .. ..2 2.. .. . 0020 0200
63

0333 3330 9 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
64

1000 0001 1 3 1110 0111 1 1. 1.. ..1 .1 1 3000 0003 0030 0300 3 .. ... ... .. 3 3000 0003
65

1001 1001 2 2 0110 0110 1 1. ... ... .1 1 2000 0002 0020 0200 2 .. ... ... .. 2 2000 0002
66

1002 2001 3 2 0110 0110 1 1. ... ... .1 1 2000 0002 0020 0200 2 .. ... ... .. 2 2000 0002
67

1003 3001 4 2 0110 0110 1 1. ... ... .1 1 2000 0002 0020 0200 2 .. ... ... .. 2 2000 0002
68

1010 0101 2 3 2010 0102 1 .. 1.1 1.1 .. 1 2010 0102 0030 0300 3 .. ... ... .. 3 3000 0003
69

1011 1101 3 1 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001
70

1012 2101 4 1 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001
71

1013 3101 5 1 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001
72

1020 0201 3 3 2010 0102 1 .. 1.1 1.1 .. 1 2010 0102 0120 0210 2 1. ... ... .1 2 3000 0003
73

1021 1201 4 2 1010 0101 1 .. ..1 1.. .. 1 1010 0101 0110 0110 1 .1 ... ... 1. 1 1100 0011
74

1022 2201 5 1 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001
75

1023 3201 6 1 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001 0010 0100 1 .. ... ... .. 1 1000 0001
76

1030 0301 4 3 2010 0102 1 .. 1.1 1.1 .. 1 2010 0102 1020 0201 2 .. 1.. ..1 .. 2 3000 0003
77

1031 1301 5 2 1010 0101 1 .. ..1 1.. .. 1 1010 0101 1010 0101 1 .. .1. .1. .. 1 1100 0011
78

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2112 2112 6 2 0110 0110 1 1. ... ... .1 1 2000 0002 0200 0020 . .2 ... ... 2. . 0200 0020
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2202 2022 6 2 0200 0020 . 11 ... ... 11 . 1100 0011 0200 0020 . 2. ... ... .2 . 2000 0002
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2203 3022 7 2 0200 0020 . 11 ... ... 11 . 1100 0011 0200 0020 . 2. ... ... .2 . 2000 0002
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165

2211 1122 6 4 2200 0022 . 11 11. .11 11 . 2200 0022 0400 0040 . .4 ... ... 4. . 0400 0040
166

2212 2122 7 2 0200 0020 . 11 ... ... 11 . 1100 0011 0200 0020 . .2 ... ... 2. . 0200 0020
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175

2233 3322 10 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000
176

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177

2301 1032 6 4 2200 0022 . 11 11. .11 11 . 2200 0022 2200 0022 . 11 11. .11 11 . 2200 0022
178

2302 2032 7 3 1200 0021 . 11 .1. .1. 11 . 1200 0021 2100 0012 . 1. 1.1 1.1 .1 . 2010 0102
179

2303 3032 8 2 0200 0020 . 11 ... ... 11 . 1100 0011 1100 0011 . 1. 1.. ..1 .1 . 2000 0002
180

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181

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185

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186

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3132 2313 9 3 2010 0102 1 .. 1.1 1.1 .. 1 2010 0102 3000 0003 . .. .12 21. .. . 0120 0210
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230

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242

3302 2033 8 4 2200 0022 . 11 11. .11 11 . 2200 0022 4000 0004 . .. 2.2 2.2 .. . 2020 0202
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250

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3333 3333 12 0 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000 0000 0000 . .. ... ... .. . 0000 0000