Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 20
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Es seien
konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.
Aufgabe
Es seien
konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.
Aufgabe
Es sei
eine stetige Funktion auf einem Intervall . Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar und mit die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von verläuft.
(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)
Aufgabe
Es sei ein Intervall und
eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung für alle gilt.
Aufgabe
Es sei ein Polynom mit ungeradem Grad . Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.
Aufgabe
Es sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ebenfalls ist.
Aufgabe
Aufgabe
Höhere Ableitung/x e hoch x/Induktion/Aufgabe
Aufgabe *
Aufgabe
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?
Aufgabe *
Bestimme den Grenzwert
Aufgabe *
Bestimme den Grenzwert
Aufgabe
Aufgabe *
Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes
zu einem Punkt .
- Bestimme diesen Limes für die Funktion
mit einem .
- Es sei in
differenzierbar.
Zeige
- Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).
Aufgabe
Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von .
Aufgabe
Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 20.9).
Aufgabe
Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10 (4).
Aufgabe
Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.
Aufgabe *
Wir betrachten die Funktion
a) Bestimme die Ableitung .
b) Bestimme die zweite Ableitung .
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Es sei eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen .
Aufgabe
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- .
Aufgabe
Aufgabe
Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist .)
Aufgabe
Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.
Aufgabe
Aufgabe *
Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf streng wachsend ist.
Aufgabe
Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf streng fallend und auf streng wachsend ist.
Aufgrund dieser beiden Aufgaben gibt es Umkehrfunktionen, die man Areasinus hyperbolicus bzw. Areakosinus hyperbolicus nennt.
Aufgabe *
Zeige, dass für , , die Gleichheit
gilt.
- Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie
Aufgabe
Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.
Aufgabe (1 Punkt)
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.34 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).
- Ist wachsend?
- Ist surjektiv?
- Ist injektiv?
- Besitzt einen Fixpunkt?
- Die Weihnachtsaufgabe
Aufgabe (10 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.34 entspricht. Unter einem Zykel von der Länge verstehen wir ein derart, dass ( bezeichnet die -te Hintereinanderschaltung von mit sich selbst) und ist für . Besitzt Zykel der Länge ?
(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)
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