Triangle Oak with multiplied columns

Studies of Boolean functions sequences related to Boolean functions

Many number triangles related to Boolean functions are the triangle of 2-binomial coefficients, here called Oak, with columns multiplied by the entries of a sequence.

Compare Pascal's triangle with multiplied columns.

triangle pair Oak

🌊    triangle Oak (A022166)    row sums Daisy (A006116) k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 5 3 1 7 7 1 16 4 1 15 35 15 1 67 5 1 31 155 155 31 1 374 6 1 63 651 1395 651 63 1 2825 7 1 127 2667 11811 11811 2667 127 1 29212 💧    triangle OakDrop (~A289537)    row sums Dahlia (~A182176) k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 1 1 0 1 1 2 0 2 1 3 3 0 4 6 1 11 4 0 8 28 14 1 51 5 0 16 120 140 30 1 307 6 0 32 496 1240 620 62 1 2451 7 0 64 2016 10416 11160 2604 126 1 26387

related to Boolean functions

triangle pair ExOlive    diagonal ExAloe    + half

Oak with columns multiplied by ExAloe 🌊    triangle ExOlive    row sums Grass k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 2 2 2 1 1 · 2 2 1 · 2 2 4 2 1 · 2 2 3 · 2 6 1 · 8 8 16 3 1 · 2 2 7 · 2 14 7 · 8 56 1 · 184 184 256 4 1 · 2 2 15 · 2 30 35 · 8 280 15 · 184 2760 1 · 62464 62464 65536 5 1 · 2 2 31 · 2 62 155 · 8 1240 155 · 184 28520 31 · 62464 1936384 1 · 4293001088 4293001088 4294967296 OakDrop with columns multiplied by ExAloe 💧    triangle ExOliveDrop    row sums GrassDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 2 2 2 1   0 1 · 2 2 2 2   0 2 · 2 4 1 · 8 8 12 3   0 4 · 2 8 6 · 8 48 1 · 184 184 240 4   0 8 · 2 16 28 · 8 224 14 · 184 2576 1 · 62464 62464 65280 5   0 16 · 2 32 120 · 8 960 140 · 184 25760 30 · 62464 1873920 1 · 4293001088 4293001088 4294901760 triangle pair HalfExOlive    diagonal HalfExAloe

triangle pair Olive    diagonal Aloe

Oak with columns multiplied by Aloe 🌊    triangle Olive (A227725)    row sums Thyme (A000231) k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 2 2 2 1 1 · 2 2 1 · 1 1 3 2 1 · 2 2 3 · 1 3 1 · 2 2 7 3 1 · 2 2 7 · 1 7 7 · 2 14 1 · 23 23 46 4 1 · 2 2 15 · 1 15 35 · 2 70 15 · 23 345 1 · 3904 3904 4336 5 1 · 2 2 31 · 1 31 155 · 2 310 155 · 23 3565 31 · 3904 121024 1 · 134156284 134156284 134281216 OakDrop with columns multiplied by Aloe 💧    triangle OliveDrop    row sums ThymeDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 2 2 2 1   0 1 · 1 1 1 2   0 2 · 1 2 1 · 2 2 4 3   0 4 · 1 4 6 · 2 12 1 · 23 23 39 4   0 8 · 1 8 28 · 2 56 14 · 23 322 1 · 3904 3904 4290 5   0 16 · 1 16 120 · 2 240 140 · 23 3220 30 · 3904 117120 1 · 134156284 134156284 134276880

triangle pair Laurel    diagonal Agave

Oak with columns multiplied by Agave 🌊    triangle Laurel (A227724)    row sums Saffron k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 0 0 0 1 1 · 0 0 1 · 1 1 1 2 1 · 0 0 3 · 1 3 1 · 0 0 3 3 1 · 0 0 7 · 1 7 7 · 0 0 1 · 7 7 14 4 1 · 0 0 15 · 1 15 35 · 0 0 15 · 7 105 1 · 750 750 870 5 1 · 0 0 31 · 1 31 155 · 0 0 155 · 7 1085 31 · 750 23250 1 · 18771864 18771864 18796230 OakDrop with columns multiplied by Agave 💧    triangle LaurelDrop    row sums SaffronDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 0 0 0 1   0 1 · 1 1 1 2   0 2 · 1 2 1 · 0 0 2 3   0 4 · 1 4 6 · 0 0 1 · 7 7 11 4   0 8 · 1 8 28 · 0 0 14 · 7 98 1 · 750 750 856 5   0 16 · 1 16 120 · 0 0 140 · 7 980 30 · 750 22500 1 · 18771864 18771864 18795360

triangle pair Forsythia    diagonal truncated Aloe

Oak with columns multiplied by truncated Aloe 🌊    triangle Forsythia    row sums Dandelion k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 2 2 3 2 1 · 1 1 3 · 2 6 1 · 23 23 30 3 1 · 1 1 7 · 2 14 7 · 23 161 1 · 3904 3904 4080 4 1 · 1 1 15 · 2 30 35 · 23 805 15 · 3904 58560 1 · 134156284 134156284 134215680 5 1 · 1 1 31 · 2 62 155 · 23 3565 155 · 3904 605120 31 · 134156284 4158844804 1 · 288230371925149328 288230371925149328 288230376084602880 OakDrop with columns multiplied by truncated Aloe 💧    triangle ForsythiaDrop    row sums DandelionDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 1 1 1 1   0 1 · 2 2 2 2   0 2 · 2 4 1 · 23 23 27 3   0 4 · 2 8 6 · 23 138 1 · 3904 3904 4050 4   0 8 · 2 16 28 · 23 644 14 · 3904 54656 1 · 134156284 134156284 134211600 5   0 16 · 2 32 120 · 23 2760 140 · 3904 546560 30 · 134156284 4024688520 1 · 288230371925149328 288230371925149328 288230375950387200

triangle pair Rhododendron    diagonal Chrysanthemum

Oak with columns multiplied by Chrysanthemum 🌊    triangle Rhododendron    row sums Ranunculus (A028361) k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 1 1 2 2 1 · 1 1 3 · 1 3 1 · 2 2 6 3 1 · 1 1 7 · 1 7 7 · 2 14 1 · 8 8 30 4 1 · 1 1 15 · 1 15 35 · 2 70 15 · 8 120 1 · 64 64 270 5 1 · 1 1 31 · 1 31 155 · 2 310 155 · 8 1240 31 · 64 1984 1 · 1024 1024 4590 6 1 · 1 1 63 · 1 63 651 · 2 1302 1395 · 8 11160 651 · 64 41664 63 · 1024 64512 1 · 32768 32768 151470 7 1 · 1 1 127 · 1 127 2667 · 2 5334 11811 · 8 94488 11811 · 64 755904 2667 · 1024 2731008 127 · 32768 4161536 1 · 2097152 2097152 9845550 OakDrop with columns multiplied by Chrysanthemum. 💧    triangle RhododendronDrop    row sums RanunculusDrop k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 * 1 1 1 1   0 1 * 1 1 1 2   0 2 * 1 2 1 * 2 2 4 3   0 4 * 1 4 6 * 2 12 1 * 8 8 24 4   0 8 * 1 8 28 * 2 56 14 * 8 112 1 * 64 64 240 5   0 16 * 1 16 120 * 2 240 140 * 8 1120 30 * 64 1920 1 * 1024 1024 4320 6   0 32 * 1 32 496 * 2 992 1240 * 8 9920 620 * 64 39680 62 * 1024 63488 1 * 32768 32768 146880 7   0 64 * 1 64 2016 * 2 4032 10416 * 8 83328 11160 * 64 714240 2604 * 1024 2666496 126 * 32768 4128768 1 * 2097152 2097152 9694080

related to seals

triangle pair MapleCore    diagonal powers of two

Oak with columns multiplied by powers of two 🌊    triangle ExOak (~A289537)    row sums ShortDahlia (A182176) k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 2 2 3 2 1 · 1 1 3 · 2 6 1 · 4 4 11 3 1 · 1 1 7 · 2 14 7 · 4 28 1 · 8 8 51 4 1 · 1 1 15 · 2 30 35 · 4 140 15 · 8 120 1 · 16 16 307 5 1 · 1 1 31 · 2 62 155 · 4 620 155 · 8 1240 31 · 16 496 1 · 32 32 2451 6 1 · 1 1 63 · 2 126 651 · 4 2604 1395 · 8 11160 651 · 16 10416 63 · 32 2016 1 · 64 64 26387 7 1 · 1 1 127 · 2 254 2667 · 4 10668 11811 · 8 94488 11811 · 16 188976 2667 · 32 85344 127 · 64 8128 1 · 128 128 387987 OakDrop with columns multiplied by powers of two 💧    triangle ExOakDrop    row sums ShortDahliaDrop k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1   0 1 · 2 2 2 2   0 2 · 2 4 1 · 4 4 8 3   0 4 · 2 8 6 · 4 24 1 · 8 8 40 4   0 8 · 2 16 28 · 4 112 14 · 8 112 1 · 16 16 256 5   0 16 · 2 32 120 · 4 480 140 · 8 1120 30 · 16 480 1 · 32 32 2144 6   0 32 · 2 64 496 · 4 1984 1240 · 8 9920 620 · 16 9920 62 · 32 1984 1 · 64 64 23936 7   0 64 · 2 128 2016 · 4 8064 10416 · 8 83328 11160 · 16 178560 2604 · 32 83328 126 · 64 8064 1 · 128 128 361600