Pascal's triangle with multiplied columns

Studies of Boolean functions sequences related to Boolean functions

Many number triangles related to Boolean functions are Pascal's triangle with columns multiplied by the entries of a sequence.

Compare Triangle Oak with multiplied columns.

rows 0...16 of Pascal's triangle

🌊    Pascal k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 4 3 1 3 3 1 8 4 1 4 6 4 1 16 5 1 5 10 10 5 1 32

💧    PascalDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 3 0 1 2 1 4 4 0 1 3 3 1 8 5 0 1 4 6 4 1 16

related to Boolean functions

triangle pair ExPascal    diagonal powers of two

Pascal with columns multiplied by powers of two 🌊    triangle ExPascal (A013609)    row sums Fern (A000244) k n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 2 2 3 2 1 · 1 1 2 · 2 4 1 · 4 4 9 3 1 · 1 1 3 · 2 6 3 · 4 12 1 · 8 8 27 4 1 · 1 1 4 · 2 8 6 · 4 24 4 · 8 32 1 · 16 16 81 5 1 · 1 1 5 · 2 10 10 · 4 40 10 · 8 80 5 · 16 80 1 · 32 32 243 6 1 · 1 1 6 · 2 12 15 · 4 60 20 · 8 160 15 · 16 240 6 · 32 192 1 · 64 64 729 7 1 · 1 1 7 · 2 14 21 · 4 84 35 · 8 280 35 · 16 560 21 · 32 672 7 · 64 448 1 · 128 128 2187 8 1 · 1 1 8 · 2 16 28 · 4 112 56 · 8 448 70 · 16 1120 56 · 32 1792 28 · 64 1792 8 · 128 1024 1 · 256 256 6561 9 1 · 1 1 9 · 2 18 36 · 4 144 84 · 8 672 126 · 16 2016 126 · 32 4032 84 · 64 5376 36 · 128 4608 9 · 256 2304 1 · 512 512 19683 10 1 · 1 1 10 · 2 20 45 · 4 180 120 · 8 960 210 · 16 3360 252 · 32 8064 210 · 64 13440 120 · 128 15360 45 · 256 11520 10 · 512 5120 1 · 1024 1024 59049 PascalDrop with columns multiplied by powers of two 💧    triangle ExPascalDrop (~A370469)    row sums FernDrop (A025192) k n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sums 0 1 · 1 1 1 1   0 1 · 2 2 2 2   0 1 · 2 2 1 · 4 4 6 3   0 1 · 2 2 2 · 4 8 1 · 8 8 18 4   0 1 · 2 2 3 · 4 12 3 · 8 24 1 · 16 16 54 5   0 1 · 2 2 4 · 4 16 6 · 8 48 4 · 16 64 1 · 32 32 162 6   0 1 · 2 2 5 · 4 20 10 · 8 80 10 · 16 160 5 · 32 160 1 · 64 64 486 7   0 1 · 2 2 6 · 4 24 15 · 8 120 20 · 16 320 15 · 32 480 6 · 64 384 1 · 128 128 1458 8   0 1 · 2 2 7 · 4 28 21 · 8 168 35 · 16 560 35 · 32 1120 21 · 64 1344 7 · 128 896 1 · 256 256 4374 9   0 1 · 2 2 8 · 4 32 28 · 8 224 56 · 16 896 70 · 32 2240 56 · 64 3584 28 · 128 3584 8 · 256 2048 1 · 512 512 13122 10   0 1 · 2 2 9 · 4 36 36 · 8 288 84 · 16 1344 126 · 32 4032 126 · 64 8064 84 · 128 10752 36 · 256 9216 9 · 512 4608 1 · 1024 1024 39366

triangle pair Cedar    diagonal Grass    + half

Pascal with columns multiplied by Grass 🌊    triangle Cedar    row sums Crocus k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 2 2 2 1 1 · 2 2 1 · 4 4 6 2 1 · 2 2 2 · 4 8 1 · 16 16 26 3 1 · 2 2 3 · 4 12 3 · 16 48 1 · 256 256 318 4 1 · 2 2 4 · 4 16 6 · 16 96 4 · 256 1024 1 · 65536 65536 66674 5 1 · 2 2 5 · 4 20 10 · 16 160 10 · 256 2560 5 · 65536 327680 1 · 4294967296 4294967296 4295297718 PascalDrop with columns multiplied by Grass 💧    triangle CedarDrop    row sums CrocusDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 2 2 2 1   0 1 · 4 4 4 2   0 1 · 4 4 1 · 16 16 20 3   0 1 · 4 4 2 · 16 32 1 · 256 256 292 4   0 1 · 4 4 3 · 16 48 3 · 256 768 1 · 65536 65536 66356 5   0 1 · 4 4 4 · 16 64 6 · 256 1536 4 · 65536 262144 1 · 4294967296 4294967296 4295231044 triangle pair HalfCedar    diagonal HalfGrass Pascal with columns multiplied by HalfGrass 🌊    triangle HalfCedar    row sums HalfCrocus (A246418) k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 2 2 3 2 1 · 1 1 2 · 2 4 1 · 8 8 13 3 1 · 1 1 3 · 2 6 3 · 8 24 1 · 128 128 159 4 1 · 1 1 4 · 2 8 6 · 8 48 4 · 128 512 1 · 32768 32768 33337 5 1 · 1 1 5 · 2 10 10 · 8 80 10 · 128 1280 5 · 32768 163840 1 · 2147483648 2147483648 2147648859 PascalDrop with columns multiplied by HalfGrass 💧    triangle HalfCedarDrop    row sums HalfCrocusDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 1 1 1 1   0 1 · 2 2 2 2   0 1 · 2 2 1 · 8 8 10 3   0 1 · 2 2 2 · 8 16 1 · 128 128 146 4   0 1 · 2 2 3 · 8 24 3 · 128 384 1 · 32768 32768 33178 5   0 1 · 2 2 4 · 8 32 6 · 128 768 4 · 32768 131072 1 · 2147483648 2147483648 2147615522

triangle pair Hickory    diagonal NonLotus

Pascal with columns multiplied by NonLotus 🌊    triangle Hickory    row sums Hyacinth (2·A059301) k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 0 0 0 1 1 · 0 0 1 · 2 2 2 2 1 · 0 0 2 · 2 4 1 · 6 6 10 3 1 · 0 0 3 · 2 6 3 · 6 18 1 · 38 38 62 4 1 · 0 0 4 · 2 8 6 · 6 36 4 · 38 152 1 · 942 942 1138 5 1 · 0 0 5 · 2 10 10 · 6 60 10 · 38 380 5 · 942 4710 1 · 325262 325262 330422 PascalDrop with columns multiplied by NonLotus 💧    triangle HickoryDrop    row sums HyacinthDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 0 0 0 1   0 1 · 2 2 2 2   0 1 · 2 2 1 · 6 6 8 3   0 1 · 2 2 2 · 6 12 1 · 38 38 52 4   0 1 · 2 2 3 · 6 18 3 · 38 114 1 · 942 942 1076 5   0 1 · 2 2 4 · 6 24 6 · 38 228 4 · 942 3768 1 · 325262 325262 329284

triangle pair Robinia    diagonal Violet

Pascal with columns multiplied by Violet 🌊    triangle Robinia    row sums Primula (A246537) k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 0 0 1 2 1 · 1 1 2 · 0 0 1 · 2 2 3 3 1 · 1 1 3 · 0 0 3 · 2 6 1 · 90 90 97 4 1 · 1 1 4 · 0 0 6 · 2 12 4 · 90 360 1 · 31826 31826 32199 5 1 · 1 1 5 · 0 0 10 · 2 20 10 · 90 900 5 · 31826 159130 1 · 2147158386 2147158386 2147318437 PascalDrop with columns multiplied by Violet 💧    triangle RobiniaDrop    row sums PrimulaDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 1 1 1 1   0 1 · 0 0 0 2   0 1 · 0 0 1 · 2 2 2 3   0 1 · 0 0 2 · 2 4 1 · 90 90 94 4   0 1 · 0 0 3 · 2 6 3 · 90 270 1 · 31826 31826 32102 5   0 1 · 0 0 4 · 2 8 6 · 90 540 4 · 31826 127304 1 · 2147158386 2147158386 2147286238

triangle pair Willow    diagonal Lotus    + half

Pascal with columns multiplied by Lotus 🌊    triangle Willow    row sums Grass (A001146) k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 2 2 2 1 1 · 2 2 1 · 2 2 4 2 1 · 2 2 2 · 2 4 1 · 10 10 16 3 1 · 2 2 3 · 2 6 3 · 10 30 1 · 218 218 256 4 1 · 2 2 4 · 2 8 6 · 10 60 4 · 218 872 1 · 64594 64594 65536 5 1 · 2 2 5 · 2 10 10 · 10 100 10 · 218 2180 5 · 64594 322970 1 · 4294642034 4294642034 4294967296 PascalDrop with columns multiplied by Lotus 💧    triangle WillowDrop    row sums GrassDrop (~A111403) k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 2 2 2 1   0 1 · 2 2 2 2   0 1 · 2 2 1 · 10 10 12 3   0 1 · 2 2 2 · 10 20 1 · 218 218 240 4   0 1 · 2 2 3 · 10 30 3 · 218 654 1 · 64594 64594 65280 5   0 1 · 2 2 4 · 10 40 6 · 218 1308 4 · 64594 258376 1 · 4294642034 4294642034 4294901760 triangle pair HalfWillow    diagonal HalfLotus Pascal with columns multiplied by HalfLotus 🌊    triangle HalfWillow    row sums HalfGrass (~A058891) k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 1 1 2 2 1 · 1 1 2 · 1 2 1 · 5 5 8 3 1 · 1 1 3 · 1 3 3 · 5 15 1 · 109 109 128 4 1 · 1 1 4 · 1 4 6 · 5 30 4 · 109 436 1 · 32297 32297 32768 5 1 · 1 1 5 · 1 5 10 · 5 50 10 · 109 1090 5 · 32297 161485 1 · 2147321017 2147321017 2147483648 PascalDrop with columns multiplied by HalfLotus 💧    triangle HalfWillowDrop    row sums HalfGrassDrop (~A040996) k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 1 1 1 1   0 1 · 1 1 1 2   0 1 · 1 1 1 · 5 5 6 3   0 1 · 1 1 2 · 5 10 1 · 109 109 120 4   0 1 · 1 1 3 · 5 15 3 · 109 327 1 · 32297 32297 32640 5   0 1 · 1 1 4 · 5 20 6 · 109 654 4 · 32297 129188 1 · 2147321017 2147321017 2147450880

triangle pair Chestnut    diagonal Pansy

Pascal with columns multiplied by Pansy 🌊    triangle Chestnut    row sums ~Grass k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 2 2 2 1 1 · 2 2 1 · 0 0 2 2 1 · 2 2 2 · 0 0 1 · 2 2 4 3 1 · 2 2 3 · 0 0 3 · 2 6 1 · 8 8 16 4 1 · 2 2 4 · 0 0 6 · 2 12 4 · 8 32 1 · 210 210 256 5 1 · 2 2 5 · 0 0 10 · 2 20 10 · 8 80 5 · 210 1050 1 · 64384 64384 65536 PascalDrop with columns multiplied by Pansy 💧    triangle ChestnutDrop    row sums ~GrassDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 2 2 2 1   0 1 · 0 0 0 2   0 1 · 0 0 1 · 2 2 2 3   0 1 · 0 0 2 · 2 4 1 · 8 8 12 4   0 1 · 0 0 3 · 2 6 3 · 8 24 1 · 210 210 240 5   0 1 · 0 0 4 · 2 8 6 · 8 48 4 · 210 840 1 · 64384 64384 65280

triangle pair Chinkapin    diagonal Peony

Pascal with columns multiplied by Peony 🌊    triangle Chinkapin    row sums ~Grass k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 0 0 0 1 1 · 0 0 1 · 2 2 2 2 1 · 0 0 2 · 2 4 1 · 0 0 4 3 1 · 0 0 3 · 2 6 3 · 0 0 1 · 10 10 16 4 1 · 0 0 4 · 2 8 6 · 0 0 4 · 10 40 1 · 208 208 256 5 1 · 0 0 5 · 2 10 10 · 0 0 10 · 10 100 5 · 208 1040 1 · 64386 64386 65536 PascalDrop with columns multiplied by Peony 💧    triangle ChinkapinDrop    row sums ~GrassDrop k n 0 1 2 3 4 5 sums 0 1 · 0 0 0 1   0 1 · 2 2 2 2   0 1 · 2 2 1 · 0 0 2 3   0 1 · 2 2 2 · 0 0 1 · 10 10 12 4   0 1 · 2 2 3 · 0 0 3 · 10 30 1 · 208 208 240 5   0 1 · 2 2 4 · 0 0 6 · 10 60 4 · 208 832 1 · 64386 64386 65280

related to seals

triangle pair Ash    diagonal Aster

Pascal with columns multiplied by Aster 🌊    triangle Ash    row sums Daisy (A006116) k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 1 1 2 2 1 · 1 1 2 · 1 2 1 · 2 2 5 3 1 · 1 1 3 · 1 3 3 · 2 6 1 · 6 6 16 4 1 · 1 1 4 · 1 4 6 · 2 12 4 · 6 24 1 · 26 26 67 5 1 · 1 1 5 · 1 5 10 · 2 20 10 · 6 60 5 · 26 130 1 · 158 158 374 6 1 · 1 1 6 · 1 6 15 · 2 30 20 · 6 120 15 · 26 390 6 · 158 948 1 · 1330 1330 2825 7 1 · 1 1 7 · 1 7 21 · 2 42 35 · 6 210 35 · 26 910 21 · 158 3318 7 · 1330 9310 1 · 15414 15414 29212 PascalDrop with columns multiplied by Aster 💧    triangle Aspen    row sums Dahlia (~A182176) k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1   0 1 · 1 1 1 2   0 1 · 1 1 1 · 2 2 3 3   0 1 · 1 1 2 · 2 4 1 · 6 6 11 4   0 1 · 1 1 3 · 2 6 3 · 6 18 1 · 26 26 51 5   0 1 · 1 1 4 · 2 8 6 · 6 36 4 · 26 104 1 · 158 158 307 6   0 1 · 1 1 5 · 2 10 10 · 6 60 10 · 26 260 5 · 158 790 1 · 1330 1330 2451 7   0 1 · 1 1 6 · 2 12 15 · 6 90 20 · 26 520 15 · 158 2370 6 · 1330 7980 1 · 15414 15414 26387

triangle pair Sloe    diagonal Verbena

Pascal with columns multiplied by Ambrosia 🌊    triangle Sloe    row sums Valerian k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 1 1 2 2 1 · 1 1 2 · 1 2 1 · 2 2 5 3 1 · 1 1 3 · 1 3 3 · 2 6 1 · 6 6 16 4 1 · 1 1 4 · 1 4 6 · 2 12 4 · 6 24 1 · 20 20 61 5 1 · 1 1 5 · 1 5 10 · 2 20 10 · 6 60 5 · 20 100 1 · 78 78 264 6 1 · 1 1 6 · 1 6 15 · 2 30 20 · 6 120 15 · 20 300 6 · 78 468 1 · 300 300 1225 7 1 · 1 1 7 · 1 7 21 · 2 42 35 · 6 210 35 · 20 700 21 · 78 1638 7 · 300 2100 1 · 1092 1092 5790 PascalDrop with columns multiplied by Ambrosia 💧    triangle SloeDrop    row sums ValerianDrop k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1   0 1 · 1 1 1 2   0 1 · 1 1 1 · 2 2 3 3   0 1 · 1 1 2 · 2 4 1 · 6 6 11 4   0 1 · 1 1 3 · 2 6 3 · 6 18 1 · 20 20 45 5   0 1 · 1 1 4 · 2 8 6 · 6 36 4 · 20 80 1 · 78 78 203 6   0 1 · 1 1 5 · 2 10 10 · 6 60 10 · 20 200 5 · 78 390 1 · 300 300 961 7   0 1 · 1 1 6 · 2 12 15 · 6 90 20 · 20 400 15 · 78 1170 6 · 300 1800 1 · 1092 1092 4565

triangle pair Pine    diagonal Geranium

Pascal with columns multiplied by Geranium 🌊    triangle Pine    row sums Aster k n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 0 0 1 2 1 · 1 1 2 · 0 0 1 · 1 1 2 3 1 · 1 1 3 · 0 0 3 · 1 3 1 · 2 2 6 4 1 · 1 1 4 · 0 0 6 · 1 6 4 · 2 8 1 · 11 11 26 5 1 · 1 1 5 · 0 0 10 · 1 10 10 · 2 20 5 · 11 55 1 · 72 72 158 6 1 · 1 1 6 · 0 0 15 · 1 15 20 · 2 40 15 · 11 165 6 · 72 432 1 · 677 677 1330 7 1 · 1 1 7 · 0 0 21 · 1 21 35 · 2 70 35 · 11 385 21 · 72 1512 7 · 677 4739 1 · 8686 8686 15414 8 1 · 1 1 8 · 0 0 28 · 1 28 56 · 2 112 70 · 11 770 56 · 72 4032 28 · 677 18956 8 · 8686 69488 1 · 152191 152191 245578 9 1 · 1 1 9 · 0 0 36 · 1 36 84 · 2 168 126 · 11 1386 126 · 72 9072 84 · 677 56868 36 · 8686 312696 9 · 152191 1369719 1 · 3632916 3632916 5382862 PascalDrop with columns multiplied by Geranium 💧    triangle PineDrop    row sums AsterDrop k n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sums 0 1 · 1 1 1 1  0 1 · 0 0 0 2  0 1 · 0 0 1 · 1 1 1 3  0 1 · 0 0 2 · 1 2 1 · 2 2 4 4  0 1 · 0 0 3 · 1 3 3 · 2 6 1 · 11 11 20 5  0 1 · 0 0 4 · 1 4 6 · 2 12 4 · 11 44 1 · 72 72 132 6  0 1 · 0 0 5 · 1 5 10 · 2 20 10 · 11 110 5 · 72 360 1 · 677 677 1172 7  0 1 · 0 0 6 · 1 6 15 · 2 30 20 · 11 220 15 · 72 1080 6 · 677 4062 1 · 8686 8686 14084 8  0 1 · 0 0 7 · 1 7 21 · 2 42 35 · 11 385 35 · 72 2520 21 · 677 14217 7 · 8686 60802 1 · 152191 152191 230164 9  0 1 · 0 0 8 · 1 8 28 · 2 56 56 · 11 616 70 · 72 5040 56 · 677 37912 28 · 8686 243208 8 · 152191 1217528 1 · 3632916 3632916 5137284

triangle pair Fir    diagonal Gardenia

Pascal with columns multiplied by Gardenia 🌊    triangle Fir    row sums Ambrosia k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 0 0 1 2 1 · 1 1 2 · 0 0 1 · 1 1 2 3 1 · 1 1 3 · 0 0 3 · 1 3 1 · 2 2 6 4 1 · 1 1 4 · 0 0 6 · 1 6 4 · 2 8 1 · 5 5 20 5 1 · 1 1 5 · 0 0 10 · 1 10 10 · 2 20 5 · 5 25 1 · 22 22 78 6 1 · 1 1 6 · 0 0 15 · 1 15 20 · 2 40 15 · 5 75 6 · 22 132 1 · 37 37 300 7 1 · 1 1 7 · 0 0 21 · 1 21 35 · 2 70 35 · 5 175 21 · 22 462 7 · 37 259 1 · 104 104 1092 PascalDrop with columns multiplied by Gardenia 💧    triangle FirDrop    row sums AmbrosiaDrop k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1   0 1 · 0 0 0 2   0 1 · 0 0 1 · 1 1 1 3   0 1 · 0 0 2 · 1 2 1 · 2 2 4 4   0 1 · 0 0 3 · 1 3 3 · 2 6 1 · 5 5 14 5   0 1 · 0 0 4 · 1 4 6 · 2 12 4 · 5 20 1 · 22 22 58 6   0 1 · 0 0 5 · 1 5 10 · 2 20 10 · 5 50 5 · 22 110 1 · 37 37 222 7   0 1 · 0 0 6 · 1 6 15 · 2 30 20 · 5 100 15 · 22 330 6 · 37 222 1 · 104 104 792

triangle pair Spruce    diagonal Gladiolus

Pascal with columns multiplied by Gladiolus 🌊    triangle Spruce    row sums Akanthus k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1 1 · 1 1 1 · 0 0 1 2 1 · 1 1 2 · 0 0 1 · 1 1 2 3 1 · 1 1 3 · 0 0 3 · 1 3 1 · 2 2 6 4 1 · 1 1 4 · 0 0 6 · 1 6 4 · 2 8 1 · 5 5 20 5 1 · 1 1 5 · 0 0 10 · 1 10 10 · 2 20 5 · 5 25 1 · 12 12 68 6 1 · 1 1 6 · 0 0 15 · 1 15 20 · 2 40 15 · 5 75 6 · 12 72 1 · 17 17 220 7 1 · 1 1 7 · 0 0 21 · 1 21 35 · 2 70 35 · 5 175 21 · 12 252 7 · 17 119 1 · 26 26 664 PascalDrop with columns multiplied by Gladiolus 💧    triangle SpruceDrop    row sums AkanthusDrop k n 0 1 2 3 4 5 6 7 sums 0 1 · 1 1 1 1   0 1 · 0 0 0 2   0 1 · 0 0 1 · 1 1 1 3   0 1 · 0 0 2 · 1 2 1 · 2 2 4 4   0 1 · 0 0 3 · 1 3 3 · 2 6 1 · 5 5 14 5   0 1 · 0 0 4 · 1 4 6 · 2 12 4 · 5 20 1 · 12 12 48 6   0 1 · 0 0 5 · 1 5 10 · 2 20 10 · 5 50 5 · 12 60 1 · 17 17 152 7   0 1 · 0 0 6 · 1 6 15 · 2 30 20 · 5 100 15 · 12 180 6 · 17 102 1 · 26 26 444